1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€5 000 を年 5%、連続複利で投資します。17 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 000r = 5%t = 17
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを、年 2.4%、月複利で 7 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €25 0002.4% / 12N = 84
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 3.5%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 100 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 6P = €1 100
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 4%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 12%rd = 4%T = 21%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €45.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 2.5%rm = 7.5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €9 000, €10 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 10 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 000, €6 000, €8 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 11698 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·17 = 0.85
e0.85 = 2.34
将来価値
FV = 5 000·2.34 = €11 698.23
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2184 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.002, N = 84
A = 25 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−84) = €323.62
利息の総額
I = N·A − P = 84·323.6 − 25 000 = €2 183.71
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1345 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.0175, N = 18
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €613.07
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.028 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(5%) = €1 101.51, P(6%) = €1 049.17
YTM = 5.028%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.23 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·12% + 0.2·4%·(1 − 0.21) = 10.23%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.573 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€45.50 = €113 750 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
ウェイト
V = €124 250 000, E/V = 0.9155, D/V = 0.08451
WACC
WACC = 0.9155·9% + 0.08451·5%·(1 − 0.21) = 8.573%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −7672 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 9 000/1.12 = 8 035.71
CF2/(1 + 0.12)2 = 9 000/1.254 = 7 174.74
CF3/(1 + 0.12)3 = 10 000/1.405 = 7 117.80
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: r* = 2.859 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
差の IRR
NPVΔ(2%) = 144.33
NPVΔ(3%) = −23.28
r* = 2.859%
確認：2.859% では両方の NPV が €1 911.28 です。