1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €10 0003.6% / 12n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
13 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3002.4% / 12N = 156
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 8%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 7 年後に満期を迎え、€925 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 7P = €925
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.6 です。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.6re = 14%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€23.50 で取引されています。株主資本の簿価は €23 500 000 です。1 株あたり €1.10 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €23 500 000、税引前コストは 5% です。税率は 21% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 2 000 000P0 = €23.50株主資本の簿価 = €23 500 000D0 = €1.10g = 4%D = €23 500 000rd = 5%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€33 000, €18 000, €25 000, €34 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −75 000CF1 = 33 000CF2 = 18 000CF3 = 25 000CF4 = 34 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €7 500, €6 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 6 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 8060 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·6 = 72
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.241 = €8 059.96
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 54859 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·13 = 156
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(1.366 − 1)/0.002 = €54 859.36
自分で払い込んだのは €46 800。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 798 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.04, N = 8
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.7307)/0.04 = €67.33
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.463 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€925 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(8%) = €947.94, P(9%) = €899.34
YTM = 8.463%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.16 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625
D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375
WACC
WACC = 0.625·14% + 0.375·5%·(1 − 0.25) = 10.16%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.229 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.1·1.04 = €1.14
re = 1.144/23.5 + 0.04 = 8.868%
時価
E = 2 000 000·€23.50 = €47 000 000
V = €70 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·8.868% + 0.3333·5%·(1 − 0.21) = 7.229%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 8216 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 33 000/1.12 = 29 464.29
CF2/(1 + 0.12)2 = 18 000/1.254 = 14 349.49
CF3/(1 + 0.12)3 = 25 000/1.405 = 17 794.51
CF4/(1 + 0.12)4 = 34 000/1.574 = 21 607.61
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 23.56 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 416.67
NPV(25%) = −160.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·416.67/(416.67 − (−160.00)) = 23.61%
正確な値: NPV(23.56%) = 0 → IRR = 23.56%