投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4%、月複利で €5 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 0004% / 12n = 5

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを、年 6%、月複利で 15 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €200 0006% / 12N = 180

I = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 9%n = 8

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、11 年後に満期を迎えます。価格は €1 204 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8% (2×)n = 11P = €1 204

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €8.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 4%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 8.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €7 000, €6 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €25 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €9 000, €9 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 12%CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000

MIRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 6105 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·5 = 60

将来価値

FV = 5 000·(1 + 0.003333)⁶⁰ = 5 000·1.221 = €6 104.98

答え

FV = €6 104.98

2.貨幣の時間価値

答え: I = 103788 €

毎月の返済額

i = 0.005, N = 180

A = 200 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻¹⁸⁰) = €1 687.71

利息の総額

I = N·A − P = 180·1688 − 200 000 = €103 788.46

答え

I = €103 788.46

3.債券の価格と利回り

答え: P = 663 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €15.00, i = 0.045, N = 16

クーポンの現在価値

€15.00·(1 − 0.4945)/0.045 = €168.51

額面の現在価値

€1 000·0.4945 = €494.47

価格

P = €662.98

答え

P = €662.98

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.503 %

1 期あたり

C = €40.00, N = 22

数値的に解く

i = 2.752% 半年あたり

YTM

YTM = 2·2.752% = 5.503%

答え

YTM = 5.503%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.178 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·14% + 0.4444·4.5%·(1 − 0.3) = 9.178%

答え

WACC = 9.178%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.147 %

時価

E = 2 000 000·€8.50 = €17 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·4.5% = 9.85%

ウェイト

V = €38 000 000, E/V = 0.4474, D/V = 0.5526

WACC

WACC = 0.4474·9.85% + 0.5526·4.5%·(1 − 0.3) = 6.147%

答え

WACC = 6.147%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −12136 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 8 000/1.09 = 7 339.45

CF₂/(1 + 0.09)² = 7 000/1.188 = 5 891.76

CF₃/(1 + 0.09)³ = 6 000/1.295 = 4 633.10

合計する

NPV = €−12 135.69

答え

NPV = €−12 135.69

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: MIRR = 6.7 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

9 000·1.12² = 11 289.60

9 000·1.12¹ = 10 080.00

9 000·1.12⁰ = 9 000.00

TV = 30 369.60

MIRR

MIRR = (30 369.60/25 000)^1/3 − 1 = 6.7%

答え

MIRR = 6.7%

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