1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€20 000 を年 3%、連続複利で投資します。15 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 000r = 3%t = 15
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0003.6% / 12N = 60
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 9%n = 11
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 15 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）が €1 151 で売られています。発行者は 6 年後に €1 070 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%P = €1 151繰上償還価格 = €1 070繰上償還まで 6 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €3 000 000re = 13%rd = 7%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €42.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 5.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 1.5%rm = 5.5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、6 年間、毎年末に €5 000 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 5 000CF3 = 5 000CF4 = 5 000CF5 = 5 000CF6 = 5 000
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €5 500 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF1 = €5 500g = 4%n = 8r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 31366 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.03·15 = 0.45
e0.45 = 1.568
将来価値
FV = 20 000·1.568 = €31 366.24
2.貨幣の時間価値
答え: A = 364.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·5 = 60
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8355
A = 20 000·0.003/(1 − 0.8355) = €364.73
3.債券の価格と利回り
答え: P = 586.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.045, N = 22
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.3797)/0.045 = €206.77
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 5.048 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1151 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
数値的に解く
y = 5%: €1 153.75
y = 6%: €1 098.52
YTC = 5.048%
最終利回りは 5.496% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.679 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·13% + 0.4286·7%·(1 − 0.25) = 9.679%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.674 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€42.50 = €106 250 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.5·4% = 7.5%
ウェイト
V = €125 450 000, E/V = 0.847, D/V = 0.153
WACC
WACC = 0.847·7.5% + 0.153·3%·(1 − 0.3) = 6.674%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 4.579 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 5 000/1.05 = 4 761.90 → Σ = 4 761.90
年度 2: 5 000/1.103 = 4 535.15 → Σ = 9 297.05
年度 3: 5 000/1.158 = 4 319.19 → Σ = 13 616.24
年度 4: 5 000/1.216 = 4 113.51 → Σ = 17 729.75
年度 5: 5 000/1.276 = 3 917.63 → Σ = 21 647.38
最後の年の端数
DPB = 4 + 2 270.25/3 917.63 = 4.579
割引回収期間は、常に単純回収期間（4 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −16858 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.1))8 = 0.6384
PV = 5 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6384) = 33 142.31
NPV
NPV = 33 142.31 − 50 000 = −€16 857.69
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。