1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 6%、四半期複利で €3 000 を投資します。7 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0006% / 4n = 7
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€8 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €8 0003.6% / 12N = 72
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 7%n = 11
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 020 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 11.4 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 020y = 7%D = 11.4Δy = −100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 6%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.3 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 30%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.3D/E1 = 0.4D/E2 = 1T = 30%rf = 4%rm − rf = 4.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000 です。4 年間、毎年末に €23 000 を生み、その後 €8 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF = €23 000S = €8 000n = 4r = 6%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €20 500, €12 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −40 000CF1 = 14 500CF2 = 20 500CF3 = 12 500
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 4552 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·7 = 28
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.015)28 = 3 000·1.517 = €4 551.67
2.貨幣の時間価値
答え: A = 123.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·6 = 72
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.806
A = 8 000·0.003/(1 − 0.806) = €123.71
3.債券の価格と利回り
答え: P = 772.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.035, N = 22
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.4692)/0.035 = €303.34
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1129 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −10.65·(−0.01) = 10.65%
P ≈ 1020·(1 + 0.1065) = €1 128.67
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.333 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556
WACC
WACC = 0.4444·9% + 0.5556·6%·(1 − 0.3) = 6.333%
6.CAPM と WACC
答え: re = 11.77 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.3/(1 + 0.7·0.4) = 1.016
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.016·(1 + 0.7·1) = 1.727
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.727·4.5% = 11.77%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 6034 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −80 000 + 79 697.43 + 6 336.75 = €6 034.18
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 8.095 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
14 500·1.062 = 16 292.20
20 500·1.061 = 21 730.00
12 500·1.060 = 12 500.00
TV = 50 522.20
MIRR
MIRR = (50 522.20/40 000)1/3 − 1 = 8.095%