投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

2 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0003% / 4n = 2

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0005.4% / 12N = 72

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 8 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €834 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 8P = €834YTM = 9%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €859 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5% (2×)n = 6P = €859

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 11% です。無リスク金利は 4% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.4r_e = 11%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €38.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 21% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 9.5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €40 000 です。4 年間、毎年末に €12 500 を生み、その後 €10 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €40 000CF = €12 500S = €10 000n = 4r = 12%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €4 000, €7 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 14130 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·2 = 8

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.062 = €14 129.63

答え

PV = €14 129.63

2.貨幣の時間価値

答え: A = 244.4 €

月利と返済回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.7238

A = 15 000·0.0045/(1 − 0.7238) = €244.37

答え

A = €244.37

3.債券の価格と利回り

答え: c = 6.001 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.09)⁻⁸ = €501.87

クーポン

C = (834 − 501.87)/5.535 = €60.01

クーポン・レート

c = 60.01/1000 = 6.001%

答え

c = 6.001%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 8.005 %

1 期あたり

C = €25.00, N = 12

数値的に解く

i = 4.003% 半年あたり

YTM

YTM = 2·4.003% = 8.005%

答え

YTM = 8.005%

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 9 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (11% − 4%)/1.4 = 5%

市場収益率

r_m = 4% + 5% = 9%

答え

r_m = 9%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.775 %

時価

E = 2 000 000·€38.00 = €76 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·6% = 10.1%

ウェイト

V = €80 900 000, E/V = 0.9394, D/V = 0.06057

WACC

WACC = 0.9394·10.1% + 0.06057·6%·(1 − 0.21) = 9.775%

答え

WACC = 9.775%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 4322 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

12 500·3.037 = 37 966.87

残存価値の現在価値

10 000/1.574 = 6 355.18

NPV

NPV = −40 000 + 37 966.87 + 6 355.18 = €4 322.05

答え

NPV = €4 322.05

8.NPV と IRR

答え: IRR = 6.023 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 158.73

NPV(10%) = −578.51

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·158.73/(158.73 − (−578.51)) = 6.077%

正確な値: NPV(6.023%) = 0 → IRR = 6.023%

答え

IRR = 6.023%

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