投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 2%、四半期複利で €2 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 0002% / 4n = 10

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

14 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2504.8% / 12N = 168

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 8%n = 7

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 3 年後に満期を迎え、€950 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 3P = €950

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €29.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 1.5%r_m = 6.5%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €50 000、耐用年数は 4 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €50 000M = €5 000n = 4r = 5%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €12 000 で、€3 000, €5 000, €7 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 7 000

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 2442 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·10 = 40

将来価値

FV = 2 000·(1 + 0.005)⁴⁰ = 2 000·1.221 = €2 441.59

答え

FV = €2 441.59

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 59720 €

月利と積立回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·14 = 168

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.956 − 1)/0.004 = €59 720.42

答え

FV = €59 720.42

自分で払い込んだのは €42 000。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 947.2 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €35.00, i = 0.04, N = 14

クーポンの現在価値

€35.00·(1 − 0.5775)/0.04 = €369.71

額面の現在価値

€1 000·0.5775 = €577.48

価格

P = €947.18

答え

P = €947.18

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 10.01 %

利回りの方程式

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数値的に解く

P(10%) = €950.26, P(11%) = €926.69

YTM = 10.01%

答え

YTM = 10.01%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.422 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·9% + 0.4444·4%·(1 − 0.2) = 6.422%

答え

WACC = 6.422%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.513 %

時価

E = 4 000 000·€29.00 = €116 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.5·5% = 9%

ウェイト

V = €125 600 000, E/V = 0.9236, D/V = 0.07643

WACC

WACC = 0.9236·9% + 0.07643·3.5%·(1 − 0.25) = 8.513%

答え

WACC = 8.513%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 19101 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.05⁻⁴)/0.05 = 3.546

年換算した購入価格

50 000/3.546 = 14 100.59

EAC

EAC = 14 100.59 + 5 000 = €19 100.59

答え

EAC = €19 100.59

8.NPV と IRR

答え: r* = 9.256 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 7 000 − 2 500 = 4 500

差の IRR

NPV_Δ(9%) = 22.93

NPV_Δ(10%) = −65.36

r* = 9.256%

答え

r* = 9.256%

確認：9.256% では両方の NPV が €301.94 です。

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