1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 6%、四半期複利で €3 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0006% / 4n = 3
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
5 年間、毎年初めに €2 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。5 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €2 000i = 4%n = 5
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 9%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 105 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 9P = €1 105
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €5 000 000 です。WACC は 7.08%、税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €5 000 000WACC = 7.08%rd = 3%T = 20%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.1 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 5.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.1D/E1 = 0.5D/E2 = 0.6T = 28%rf = 2%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€13 000, €19 000, €14 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 13 000CF2 = 19 000CF3 = 14 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €12 500, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 18 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3587 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·3 = 12
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.015)12 = 3 000·1.196 = €3 586.85
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 11266 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.04)5 − 1)/0.04 = 5.416
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 2 000·5.416·1.04 = €11 265.95
3.債券の価格と利回り
答え: P = 939.2 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.045, N = 18
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.4528)/0.045 = €486.40
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.49 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 105 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(5%) = €1 142.16, P(6%) = €1 068.02
YTM = 5.49%
5.CAPM と WACC
答え: re = 10 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846
WACC の負債の部分
0.3846·3%·(1 − 0.2) = 0.9231%
株主資本コスト
re = (7.08% − 0.9231%)/0.6154 = 10%
6.CAPM と WACC
答え: re = 8.37 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.1/(1 + 0.72·0.5) = 0.8088
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.8088·(1 + 0.72·0.6) = 1.158
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.158·5.5% = 8.37%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −6961 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 13 000/1.1 = 11 818.18
CF2/(1 + 0.1)2 = 19 000/1.21 = 15 702.48
CF3/(1 + 0.1)3 = 14 000/1.331 = 10 518.41
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 13.46 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 1 239.67
NPV(15%) = −519.85
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·1 239.67/(1 239.67 − (−519.85)) = 13.52%
正確な値: NPV(13.46%) = 0 → IRR = 13.46%