投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €2 000 を 17 年間支払います。利率は年 5% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €2 000i = 5%n = 17

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€12 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €12 0003% / 12N = 36

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 12

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 6 年後に満期を迎え、€930 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 6P = €930

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 4% です。税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 9%r_p = 7%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €13.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 3%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。

β = 1.2r_f = 3%r_m = 9%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €400 000 です。1 年目の末に €29 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 2% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €27 500, €22 000, €20 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 22 000CF₃ = 20 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 22548 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4363)/0.05 = 11.27

現在価値

PV = 2 000·11.27 = €22 548.13

答え

PV = €22 548.13

2.貨幣の時間価値

答え: A = 349 €

月利と返済回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·3 = 36

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.914

A = 12 000·0.0025/(1 − 0.914) = €348.97

答え

A = €348.97

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1097 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €22.50, i = 0.0175, N = 24

クーポンの現在価値

€22.50·(1 − 0.6594)/0.0175 = €437.87

額面の現在価値

€1 000·0.6594 = €659.44

価格

P = €1 097.30

答え

P = €1 097.30

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 8.539 %

利回りの方程式

€930 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数値的に解く

P(8%) = €953.77, P(9%) = €910.28

YTM = 8.539%

答え

YTM = 8.539%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.935 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 10 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €15 500 000

E/V = 0.6452, P_s/V = 0.03226, D/V = 0.3226

WACC

WACC = 0.6452·9% + 0.03226·7% + 0.3226·4%·(1 − 0.3) = 6.935%

答え

WACC = 6.935%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.015 %

時価

E = 2 000 000·€13.00 = €26 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.2·6% = 10.2%

ウェイト

V = €65 200 000, E/V = 0.3988, D/V = 0.6012

WACC

WACC = 0.3988·10.2% + 0.6012·4.5%·(1 − 0.28) = 6.015%

答え

WACC = 6.015%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −37500 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 29 000/(0.1 − 0.02) = 362 500.00

NPV

NPV = 362 500.00 − 400 000 = −€37 500.00

答え

NPV = −€37 500.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 20.08 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 57.87

NPV(25%) = −3 424.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·57.87/(57.87 − (−3 424.00)) = 20.08%

正確な値: NPV(20.08%) = 0 → IRR = 20.08%

答え

IRR = 20.08%

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