投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €20 000g = 1.5%r = 7.5%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 4.2%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €200 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €10 000A = €2004.2% / 12

N = 回

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 7%n = 4

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 7% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4YTM = 7%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式は 1 000 000 株で、€19.00 で取引されています。株主資本の簿価は €7 600 000 です。1 株あたり €2.40 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €11 400 000、税引前コストは 6% です。税率は 20% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。

N = 1 000 000P₀ = €19.00株主資本の簿価 = €7 600 000D₀ = €2.40g = 4%D = €11 400 000r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €22 000, €10 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 20 000CF₂ = 22 000CF₃ = 10 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €28 500 で、7 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €200 000CF₁ = €28 500g = 4%n = 7r = 10%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 333333 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.075 − 0.015) = 20 000/0.06 = €333 333.33

答え

PV = €333 333.33

2.貨幣の時間価値

答え: N = 56 回

年金の公式を変形する

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0.0035/200 = 0.825

対数を使って解く

N = −ln(0.825)/ln(1.004) = 55.06

返済回数を整数に切り上げる

55 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 56

答え

N = 56 回

3.債券の価格と利回り

答え: P = 931.3 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.035, N = 8

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.7594)/0.035 = €171.85

額面の現在価値

€1 000·0.7594 = €759.41

価格

P = €931.26

答え

P = €931.26

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: D = 3.736 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 45/1.07 = 42.06, t·PV = 42.06

t = 2: 45/1.145 = 39.30, t·PV = 78.61

t = 3: 45/1.225 = 36.73, t·PV = 110.20

t = 4: 1045/1.311 = 797.23, t·PV = 3 188.90

デュレーション

P = 915.32

D = 3 419.77/915.32 = 3.736

答え

D = 3.736 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.867 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €9 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·8% + 0.6667·6%·(1 − 0.2) = 5.867%

答え

WACC = 5.867%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 12.51 %

株主資本コスト

D₁ = 2.4·1.04 = €2.50

r_e = 2.496/19 + 0.04 = 17.14%

時価

E = 1 000 000·€19.00 = €19 000 000

V = €30 400 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·17.14% + 0.375·6%·(1 − 0.2) = 12.51%

答え

WACC = 12.51%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 318.3 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 20 000/1.08 = 18 518.52

CF₂/(1 + 0.08)² = 22 000/1.166 = 18 861.45

CF₃/(1 + 0.08)³ = 10 000/1.26 = 7 938.32

合計する

NPV = €318.29

答え

NPV = €318.29

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: NPV = −45759 €

成長型年金の現在価値

((1.04)/(1.1))⁷ = 0.6753

PV = 28 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6753) = 154 241.49

NPV

NPV = 154 241.49 − 200 000 = −€45 758.51

答え

NPV = −€45 758.51

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

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