投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

8 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €20 0006% / 4n = 8

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 の住宅ローンを、年 3.6%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。19 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €200 0003.6% / 12N = 360k = 228

B = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 11 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5% のとき €834 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 11P = €834YTM = 5%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 14 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 240 で売られています。発行者は 3 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 240繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 3 年

YTC = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €17.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 1%r_m = 6%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000 です。4 年間、毎年末に €18 500 を生み、その後 €9 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €60 000CF = €18 500S = €9 000n = 4r = 8%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €50 000 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €200 000CF₁ = €50 000g = 4%n = 4r = 8%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 12420 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·8 = 32

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.61 = €12 419.86

答え

PV = €12 419.86

2.貨幣の時間価値

答え: B = 98990 €

毎月の返済額

i = 0.003, N = 360

A = 200 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻³⁶⁰) = €909.29

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 228 = 132

B = 909.3·(1 − (1 + 0.003)⁻¹³²)/0.003 = €98 989.69

答え

B = €98 989.69

3.債券の価格と利回り

答え: c = 3.002 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.05)⁻¹¹ = €584.68

クーポン

C = (834 − 584.68)/8.306 = €30.02

クーポン・レート

c = 30.02/1000 = 3.002%

答え

c = 3.002%

4.債券の価格と利回り

答え: YTC = 2.246 %

利回りの方程式

1240 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

数値的に解く

y = 2%: €1 248.42

y = 3%: €1 214.64

YTC = 2.246%

答え

YTC = 2.246%

最終利回りは 5.498% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.833 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·13% + 0.3333·5%·(1 − 0.3) = 9.833%

答え

WACC = 9.833%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.763 %

時価

E = 5 000 000·€17.50 = €87 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 1.3·5% = 7.5%

ウェイト

V = €107 900 000, E/V = 0.8109, D/V = 0.1891

WACC

WACC = 0.8109·7.5% + 0.1891·5%·(1 − 0.28) = 6.763%

答え

WACC = 6.763%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 7890 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

18 500·3.312 = 61 274.35

残存価値の現在価値

9 000/1.36 = 6 615.27

NPV

NPV = −60 000 + 61 274.35 + 6 615.27 = €7 889.62

答え

NPV = €7 889.62

8.NPV と IRR

答え: NPV = −24851 €

成長型年金の現在価値

((1.04)/(1.08))⁴ = 0.8599

PV = 50 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.8599) = 175 148.79

NPV

NPV = 175 148.79 − 200 000 = −€24 851.21

答え

NPV = −€24 851.21

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

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