1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €5 000g = 1.5%r = 7.5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 2.4%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。2 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0002.4% / 12N = 240k = 24
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 8%n = 7
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 19 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）が €1 189 で売られています。発行者は 4 年後に €1 060 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%P = €1 189繰上償還価格 = €1 060繰上償還まで 4 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €12 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 6%、税引前負債コストは 5% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000Ps = €500 000D = €4 000 000re = 9%rp = 6%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.7 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.7D/E = 1.5T = 30%rf = 4%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €50 000M = €5 000n = 5r = 12%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 500, €9 500, €14 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 12 500CF2 = 9 500CF3 = 14 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 83333 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 5 000/(0.075 − 0.015) = 5 000/0.06 = €83 333.33
2.貨幣の時間価値
答え: B = 138025 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.002, N = 240
A = 150 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−240) = €787.57
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 24 = 216
B = 787.6·(1 − (1 + 0.002)−216)/0.002 = €138 025.26
3.債券の価格と利回り
答え: P = 788.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.04, N = 14
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.5775)/0.04 = €211.26
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 2.431 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1189 = 60·(1 − (1 + y)−4)/y + 1060/(1 + y)4
数値的に解く
y = 2%: €1 207.74
y = 3%: €1 164.82
YTC = 2.431%
最終利回りは 4.499% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.636 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 12 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €16 500 000
E/V = 0.7273, Ps/V = 0.0303, D/V = 0.2424
WACC
WACC = 0.7273·9% + 0.0303·6% + 0.2424·5%·(1 − 0.25) = 7.636%
6.CAPM と WACC
答え: re = 14.04 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.7·(1 + 0.7·1.5) = 1.435
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.435·7% = 14.04%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 18870 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−5)/0.12 = 3.605
EAC
EAC = 13 870.49 + 5 000 = €18 870.49
8.NPV と IRR
答え: IRR = 36.34 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 365.29
NPV(40%) = −940.23
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·365.29/(365.29 − (−940.23)) = 36.4%
正確な値: NPV(36.34%) = 0 → IRR = 36.34%