投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4.8%、四半期複利で €5 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 0004.8% / 4n = 6

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€12 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €12 0005.4% / 12N = 48

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 8%n = 12

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 7 年後に満期を迎え、€1 060 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 7P = €1 060

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.25 の株式の要求収益率は 12.75% です。無リスク金利は 4% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.25r_e = 12.75%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €41.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 2.5%r_m = 8%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、5 年間、毎年末に €14 500 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 500CF₃ = 14 500CF₄ = 14 500CF₅ = 14 500

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €15 500, €15 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 23 000CF₂ = 15 500CF₃ = 15 500

MIRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 6657 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·6 = 24

将来価値

FV = 5 000·(1 + 0.012)²⁴ = 5 000·1.331 = €6 657.36

答え

FV = €6 657.36

2.貨幣の時間価値

答え: A = 278.5 €

月利と返済回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·4 = 48

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8061

A = 12 000·0.0045/(1 − 0.8061) = €278.53

答え

A = €278.53

3.債券の価格と利回り

答え: P = 771.3 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.04, N = 24

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.3901)/0.04 = €381.17

額面の現在価値

€1 000·0.3901 = €390.12

価格

P = €771.30

答え

P = €771.30

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 4 %

利回りの方程式

€1 060 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数値的に解く

P(4%) = €1 060.02, P(5%) = €1 000.00

YTM = 4%

答え

YTM = 4%

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 11 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (12.75% − 4%)/1.25 = 7%

市場収益率

r_m = 4% + 7% = 11%

答え

r_m = 11%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.742 %

時価

E = 1 000 000·€41.50 = €41 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.3·5.5% = 9.65%

ウェイト

V = €79 900 000, E/V = 0.5194, D/V = 0.4806

WACC

WACC = 0.5194·9.65% + 0.4806·4.5%·(1 − 0.2) = 6.742%

答え

WACC = 6.742%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 3.108 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 14 500/1.06 = 13 679.25 → Σ = 13 679.25

年度 2: 14 500/1.124 = 12 904.95 → Σ = 26 584.19

年度 3: 14 500/1.191 = 12 174.48 → Σ = 38 758.67

年度 4: 14 500/1.262 = 11 485.36 → Σ = 50 244.03

最後の年の端数

DPB = 3 + 1 241.33/11 485.36 = 3.108

答え

DPB = 3.108 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.759 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: MIRR = 5.712 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

23 000·1.08² = 26 827.20

15 500·1.08¹ = 16 740.00

15 500·1.08⁰ = 15 500.00

TV = 59 067.20

MIRR

MIRR = (59 067.20/50 000)^1/3 − 1 = 5.712%

答え

MIRR = 5.712%

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