投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4.8%、月複利で €12 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €12 0004.8% / 12n = 9

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 5.4%、月複利で €5 000 を借り、毎月末に €100 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €5 000A = €1005.4% / 12

N = 回

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 8 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3.5% のとき €1 309 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 8P = €1 309YTM = 3.5%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 2.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 4YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €43.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 2.5%r_m = 7.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €30 000 です。7 年間、毎年末に €5 000 を生み、その後 €6 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €30 000CF = €5 000S = €6 000n = 7r = 12%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 000, €12 500, €6 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €40 000 で、€10 500, €15 500, €20 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −30 000, 17 000, 12 500, 6 000B: −40 000, 10 500, 15 500, 20 500

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 18468 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·9 = 108

将来価値

FV = 12 000·(1 + 0.004)¹⁰⁸ = 12 000·1.539 = €18 468.10

答え

FV = €18 468.10

2.貨幣の時間価値

答え: N = 57 回

年金の公式を変形する

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0.0045/100 = 0.775

対数を使って解く

N = −ln(0.775)/ln(1.004) = 56.77

返済回数を整数に切り上げる

56 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 57

答え

N = 57 回

3.債券の価格と利回り

答え: c = 7.995 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.035)⁻⁸ = €759.41

クーポン

C = (1309 − 759.41)/6.874 = €79.95

クーポン・レート

c = 79.95/1000 = 7.995%

答え

c = 7.995%

4.債券の価格と利回り

答え: D = 3.737 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 50/1.025 = 48.78, t·PV = 48.78

t = 2: 50/1.051 = 47.59, t·PV = 95.18

t = 3: 50/1.077 = 46.43, t·PV = 139.29

t = 4: 1050/1.104 = 951.25, t·PV = 3 804.99

デュレーション

P = 1 094.05

D = 4 088.24/1 094.05 = 3.737

答え

D = 3.737 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.267 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·8% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.2) = 6.267%

答え

WACC = 6.267%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.912 %

時価

E = 1 000 000·€43.50 = €43 500 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.8·5% = 6.5%

ウェイト

V = €82 700 000, E/V = 0.526, D/V = 0.474

WACC

WACC = 0.526·6.5% + 0.474·4.5%·(1 − 0.3) = 4.912%

答え

WACC = 4.912%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −4467 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

5 000·4.564 = 22 818.78

残存価値の現在価値

6 000/2.211 = 2 714.10

NPV

NPV = −30 000 + 22 818.78 + 2 714.10 = −€4 467.12

答え

NPV = −€4 467.12

8.NPV と IRR

答え: r* = 2.445 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 500 − 17 000 = −6 500

ΔCF₂ = 15 500 − 12 500 = 3 000

ΔCF₃ = 20 500 − 6 000 = 14 500

差の IRR

NPV_Δ(2%) = 174.63

NPV_Δ(3%) = −213.34

r* = 2.445%

答え

r* = 2.445%

確認：2.445% では両方の NPV が €4 085.26 です。

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