1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €20 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0002.4% / 12N = 48
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 8% のとき €792 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €792YTM = 8%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 4 年後に満期を迎え、€1 060 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4P = €1 060
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €5 000 000re = 12%rd = 3%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.1 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.1D/E1 = 0.2D/E2 = 0.75T = 25.8%rf = 1.5%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€6 000, €6 000, €6 000, €6 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −20 000CF1 = 6 000CF2 = 6 000CF3 = 6 000CF4 = 6 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
€80 000 の投資が 6 年間、毎年末に €16 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €80 000CF = €16 500n = 6
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 1 × 10⁶ €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.06 − 0.04) = 20 000/0.02 = €1 000 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 262.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.9086
A = 12 000·0.002/(1 − 0.9086) = €262.44
3.債券の価格と利回り
答え: c = 4.005 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.08)−7 = €583.49
クーポン
C = (792 − 583.49)/5.206 = €40.05
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 1.445 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(1%) = €1 078.04, P(2%) = €1 038.08
YTM = 1.445%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625
WACC
WACC = 0.375·12% + 0.625·3%·(1 − 0.2) = 6%
6.CAPM と WACC
答え: re = 10.45 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.1/(1 + 0.742·0.2) = 0.9579
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.9579·(1 + 0.742·0.75) = 1.491
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.491·6% = 10.45%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 323.3 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 6 000/1.07 = 5 607.48
CF2/(1 + 0.07)2 = 6 000/1.145 = 5 240.63
CF3/(1 + 0.07)3 = 6 000/1.225 = 4 897.79
CF4/(1 + 0.07)4 = 6 000/1.311 = 4 577.37
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 6.451 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−6)/i = 80 000/16 500 = 4.848
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 6%: 4.917
i = 7%: 4.767
IRR = 6.451%