1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €10 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 8% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €10 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €25 0004.2% / 12N = 48
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りが 4% から 3.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6y1 = 4%y2 = 3.5%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 4 年後に満期を迎え、€1 080 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4P = €1 080
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 4%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 20%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.9D/E = 1.5T = 20%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000、耐用年数は 4 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €30 000M = €1 000n = 4r = 10%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €18 000, €20 000, €25 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 10% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 18 000CF2 = 20 000CF3 = 25 500
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 200000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.08 − 0.03) = 10 000/0.05 = €200 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 566.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8456
A = 25 000·0.0035/(1 − 0.8456) = €566.72
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 25.78 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €30.00, i = 0.04, N = 6
€30.00·(1 − 0.7903)/0.04 + €1 000·0.7903 = €157.26 + €790.31 = €947.58
新しい利回りでの価格
C = €30.00, i = 0.035, N = 6
€30.00·(1 − 0.8135)/0.035 + €1 000·0.8135 = €159.86 + €813.50 = €973.36
変化
ΔP = 973.36 − 947.58 = €25.78
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 0.9522 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(1%) = €1 078.04, P(1%) = €1 078.04
YTM = 0.9522%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9% + 0.5·4%·(1 − 0.25) = 6%
6.CAPM と WACC
答え: re = 15.86 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.9·(1 + 0.8·1.5) = 1.98
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.98·7% = 15.86%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 10464 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
EAC
EAC = 9 464.12 + 1 000 = €10 464.12
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 11.48 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
18 000·1.12 = 21 780.00
20 000·1.11 = 22 000.00
25 500·1.10 = 25 500.00
TV = 69 280.00
MIRR
MIRR = (69 280.00/50 000)1/3 − 1 = 11.48%