1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €1 500 を 19 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €1 500i = 8%n = 19
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €250 0003.6% / 12N = 360
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 6
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 045 で取引され、最終利回りは 5%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 10.6 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 045y = 5%D = 10.6Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €12 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 8%、税引前負債コストは 4% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000Ps = €500 000D = €4 000 000re = 9%rp = 8%rd = 4%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.3 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.3D/E1 = 0.2D/E2 = 1.25T = 21%rf = 4%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €17 000, €12 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 20 000CF2 = 17 000CF3 = 12 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €9 000 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 5%n = 10r = 12%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 14405 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.2317)/0.08 = 9.604
現在価値
PV = 1 500·9.604 = €14 405.40
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1137 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·30 = 360
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3401
A = 250 000·0.003/(1 − 0.3401) = €1 136.61
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1054 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.0175, N = 12
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.8121)/0.0175 = €241.64
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 939.5 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −10.1·(0.01) = −10.1%
P ≈ 1045·(1 − 0.101) = €939.50
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.564 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 12 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €16 500 000
E/V = 0.7273, Ps/V = 0.0303, D/V = 0.2424
WACC
WACC = 0.7273·9% + 0.0303·8% + 0.2424·4%·(1 − 0.2) = 7.564%
6.CAPM と WACC
答え: re = 12.92 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.3/(1 + 0.79·0.2) = 1.123
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.123·(1 + 0.79·1.25) = 2.231
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 2.231·4% = 12.92%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −18753 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 20 000/1.1 = 18 181.82
CF2/(1 + 0.1)2 = 17 000/1.21 = 14 049.59
CF3/(1 + 0.1)3 = 12 000/1.331 = 9 015.78
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −38859 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.12))10 = 0.5245
PV = 9 000/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.5245) = 61 140.80
NPV
NPV = 61 140.80 − 100 000 = −€38 859.20
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。