1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
7 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €5 0003% / 4n = 7
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €25 0005.4% / 12N = 60
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 5 年後に満期を迎え、€920 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 5P = €920
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €1 000 000re = 10%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€54.50 で取引されています。株主資本の簿価は €21 800 000 です。1 株あたり €2.00 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €27 300 000、税引前コストは 3% です。税率は 28% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 1 000 000P0 = €54.50株主資本の簿価 = €21 800 000D0 = €2.00g = 4%D = €27 300 000rd = 3%T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、6 年間、毎年末に €5 500 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 8%CF0 = −20 000CF1 = 5 500CF2 = 5 500CF3 = 5 500CF4 = 5 500CF5 = 5 500CF6 = 5 500
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €7 000, €5 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 7 000CF3 = 5 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 4056 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.03/4 = 0.0075
N = 4·7 = 28
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.233 = €4 056.10
2.貨幣の時間価値
答え: A = 476.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·5 = 60
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.7638
A = 25 000·0.0045/(1 − 0.7638) = €476.38
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1077 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.0175, N = 18
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.7318)/0.0175 = €344.85
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.948 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€920 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(6%) = €957.88, P(7%) = €918.00
YTM = 6.948%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.177 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111
WACC
WACC = 0.8889·10% + 0.1111·3.5%·(1 − 0.258) = 9.177%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.929 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2·1.04 = €2.08
re = 2.08/54.5 + 0.04 = 7.817%
時価
E = 1 000 000·€54.50 = €54 500 000
V = €81 800 000, E/V = 0.6663, D/V = 0.3337
WACC
WACC = 0.6663·7.817% + 0.3337·3%·(1 − 0.28) = 5.929%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 4.476 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 5 500/1.08 = 5 092.59 → Σ = 5 092.59
年度 2: 5 500/1.166 = 4 715.36 → Σ = 9 807.96
年度 3: 5 500/1.26 = 4 366.08 → Σ = 14 174.03
年度 4: 5 500/1.36 = 4 042.66 → Σ = 18 216.70
年度 5: 5 500/1.469 = 3 743.21 → Σ = 21 959.91
最後の年の端数
DPB = 4 + 1 783.30/3 743.21 = 4.476
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.636 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 37.42 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 317.53
NPV(40%) = −320.70
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·317.53/(317.53 − (−320.70)) = 37.49%
正確な値: NPV(37.42%) = 0 → IRR = 37.42%