1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
3 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €20 0006% / 12n = 3
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
4 年後に €50 000 が欲しいとします。年 3%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €50 0003% / 12N = 48
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 3 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 2.5% のとき €1 157 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 3P = €1 157YTM = 2.5%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 7 年後に満期を迎え、€950 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 7P = €950
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €3 000 000、負債の価値は €1 000 000 です。WACC は 7%、税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 7%rd = 5%T = 20%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €25.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 10% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3.5%rm = 10%rd = 4%T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000 です。7 年間、毎年末に €11 000 を生み、その後 €15 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €60 000CF = €11 000S = €15 000n = 7r = 10%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 000, €11 500, €7 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €32 000 で、€9 000, €12 500, €17 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −30 000, 17 000, 11 500, 7 000B: −32 000, 9 000, 12 500, 17 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 16713 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·3 = 36
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.197 = €16 712.90
2.貨幣の時間価値
答え: A = 981.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·4 = 48
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 50 000·0.0025/(1.127 − 1) = €981.72
3.債券の価格と利回り
答え: c = 7.997 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.025)−3 = €928.60
クーポン
C = (1157 − 928.60)/2.856 = €79.97
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.959 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €947.94
YTM = 7.959%
5.CAPM と WACC
答え: re = 8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.275 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€25.00 = €25 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.1·6.5% = 10.65%
ウェイト
V = €44 200 000, E/V = 0.5656, D/V = 0.4344
WACC
WACC = 0.5656·10.65% + 0.4344·4%·(1 − 0.28) = 7.275%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 1250 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −60 000 + 53 552.61 + 7 697.37 = €1 249.98
8.NPV と IRR
答え: r* = 4.619 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 000 = −8 000
ΔCF2 = 12 500 − 11 500 = 1 000
ΔCF3 = 17 000 − 7 000 = 10 000
差の IRR
NPVΔ(4%) = 122.21
NPVΔ(5%) = −73.64
r* = 4.619%
確認：4.619% では両方の NPV が €2 869.69 です。