投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€20 000 を年 6%、連続複利で投資します。6 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 000r = 6%t = 6

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€10 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 7 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €10 0005.4% / 12N = 84

I = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5% から 6% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 8y₁ = 5%y₂ = 6%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 040 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €1 040

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.5 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.5D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.6T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€18 000, €16 000, €16 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 16 000CF₃ = 16 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 500, €11 500, €14 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 11 500CF₃ = 14 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 28667 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.06·6 = 0.36

e^0.36 = 1.433

将来価値

FV = 20 000·1.433 = €28 666.59

答え

FV = €28 666.59

2.貨幣の時間価値

答え: I = 2031 €

毎月の返済額

i = 0.0045, N = 84

A = 10 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻⁸⁴) = €143.23

利息の総額

I = N·A − P = 84·143.2 − 10 000 = €2 031.01

答え

I = €2 031.01

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −54.5 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €20.00, i = 0.05, N = 8

€20.00·(1 − 0.6768)/0.05 + €1 000·0.6768 = €129.26 + €676.84 = €806.10

新しい利回りでの価格

C = €20.00, i = 0.06, N = 8

€20.00·(1 − 0.6274)/0.06 + €1 000·0.6274 = €124.20 + €627.41 = €751.61

変化

ΔP = 751.61 − 806.10 = −€54.50

答え

ΔP = −€54.50

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 4.544 %

利回りの方程式

€1 040 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数値的に解く

P(4%) = €1 055.50, P(5%) = €1 027.23

YTM = 4.544%

答え

YTM = 4.544%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 11.13 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·14% + 0.25·3.5%·(1 − 0.28) = 11.13%

答え

WACC = 11.13%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 12.46 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.5/(1 + 0.79·0.2) = 1.295

新しい D/E でリレバーする

β_L = 1.295·(1 + 0.79·0.6) = 1.909

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 1.909·6% = 12.46%

答え

r_e = 12.46%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 476.7 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 18 000/1.05 = 17 142.86

CF₂/(1 + 0.05)² = 16 000/1.103 = 14 512.47

CF₃/(1 + 0.05)³ = 16 000/1.158 = 13 821.40

合計する

NPV = €476.73

答え

NPV = €476.73

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 42.4 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(40%) = 612.24

NPV(45%) = −627.74

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 40 + 5·612.24/(612.24 − (−627.74)) = 42.47%

正確な値: NPV(42.4%) = 0 → IRR = 42.4%

答え

IRR = 42.4%

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