1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、月複利で €20 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0004.8% / 12n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
17 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 5% です。17 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €5 000i = 5%n = 17
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €899 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €899YTM = 9%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 080 で取引され、最終利回りは 6%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 5.2 年です。利回りが 25 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 080y = 6%D = 5.2Δy = −25 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €48.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 1%rm = 5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €8 000, €7 000, €5 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 8 000CF3 = 7 000CF4 = 5 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 000, €36 500, €23 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 18 000CF2 = 36 500CF3 = 23 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 29340 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/12 = 0.004
N = m·n = 12·8 = 96
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.004)96 = 20 000·1.467 = €29 340.43
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 135662 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.05)17 − 1)/0.05 = 25.84
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 5 000·25.84·1.05 = €135 661.92
3.債券の価格と利回り
答え: c = 6.993 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.09)−7 = €547.03
クーポン
C = (899 − 547.03)/5.033 = €69.93
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1093 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −4.906·(−0.0025) = 1.226%
P ≈ 1080·(1 + 0.01226) = €1 093.25
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.72 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·9% + 0.3333·3%·(1 − 0.28) = 6.72%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.104 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€48.50 = €97 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
ウェイト
V = €101 900 000, E/V = 0.9519, D/V = 0.04809
WACC
WACC = 0.9519·6.2% + 0.04809·6%·(1 − 0.3) = 6.104%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3993 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 8 000/1.07 = 7 476.64
CF2/(1 + 0.07)2 = 8 000/1.145 = 6 987.51
CF3/(1 + 0.07)3 = 7 000/1.225 = 5 714.09
CF4/(1 + 0.07)4 = 5 000/1.311 = 3 814.48
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 24.4 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 3 657.41
NPV(25%) = −464.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·3 657.41/(3 657.41 − (−464.00)) = 24.44%
正確な値: NPV(24.4%) = 0 → IRR = 24.4%