1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
2 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0003% / 4n = 2
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
16 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 7.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2507.2% / 12N = 192
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 2.5%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 3YTM = 6%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €55.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 2%rm = 8.5%rd = 5%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。6 年間、毎年末に €11 500 を生み、その後 €5 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €11 500S = €5 000n = 6r = 10%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €17 500, €25 500, €37 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 17 500CF2 = 25 500CF3 = 37 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 47099 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.03/4 = 0.0075
N = 4·2 = 8
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.062 = €47 098.77
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 89735 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·16 = 192
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(3.154 − 1)/0.006 = €89 735.06
自分で払い込んだのは €48 000。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1132 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.0125, N = 8
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.9054)/0.0125 = €227.04
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 2.87 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 45/1.06 = 42.45, t·PV = 42.45
t = 2: 45/1.124 = 40.05, t·PV = 80.10
t = 3: 1045/1.191 = 877.40, t·PV = 2 632.21
デュレーション
P = 959.90
D = 2 754.76/959.90 = 2.87
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.58 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9% + 0.5·3%·(1 − 0.28) = 5.58%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.387 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€55.00 = €137 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.2·6.5% = 9.8%
ウェイト
V = €147 500 000, E/V = 0.9322, D/V = 0.0678
WACC
WACC = 0.9322·9.8% + 0.0678·5%·(1 − 0.258) = 9.387%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 2908 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 50 085.50 + 2 822.37 = €2 907.87
8.NPV と IRR
答え: IRR = 24.43 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 3 993.06
NPV(25%) = −480.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·3 993.06/(3 993.06 − (−480.00)) = 24.46%
正確な値: NPV(24.43%) = 0 → IRR = 24.43%