1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
8 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €40 0004.8% / 12n = 8
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €250 0002.4% / 12N = 360
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3.5%n = 10
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 075 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 9P = €1 075
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.4 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.4re = 9%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €9.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 21% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3.5%rm = 7.5%rd = 4%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€28 000, €30 000, €28 000, €20 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −75 000CF1 = 28 000CF2 = 30 000CF3 = 28 000CF4 = 20 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 7 年間、毎年末に €3 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €3 000n = 7
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 27266 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·8 = 96
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.467 = €27 266.13
2.貨幣の時間価値
答え: A = 974.9 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·30 = 360
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.4871
A = 250 000·0.002/(1 − 0.4871) = €974.85
3.債券の価格と利回り
答え: P = 874.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0175, N = 20
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.7068)/0.0175 = €167.53
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 3.992 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 075 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(3%) = €1 155.72, P(4%) = €1 074.35
YTM = 3.992%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.913 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143
D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857
WACC
WACC = 0.7143·9% + 0.2857·7%·(1 − 0.258) = 7.913%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.493 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€9.50 = €9 500 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.1·4% = 7.9%
ウェイト
V = €19 300 000, E/V = 0.4922, D/V = 0.5078
WACC
WACC = 0.4922·7.9% + 0.5078·4%·(1 − 0.21) = 5.493%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 13574 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 28 000/1.08 = 25 925.93
CF2/(1 + 0.08)2 = 30 000/1.166 = 25 720.16
CF3/(1 + 0.08)3 = 28 000/1.26 = 22 227.30
CF4/(1 + 0.08)4 = 20 000/1.36 = 14 700.60
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 22.93 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−7)/i = 10 000/3 000 = 3.333
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 22%: 3.416
i = 23%: 3.327
IRR = 22.93%