投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 15%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 15%m = 365

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

11 年間、毎年初めに €2 500 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。11 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €2 500i = 7%n = 11

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 2.5% のときに、残存期間 4 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 2%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 1.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 4y₀ = 2.5%y₁ = 1.5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%n = 5YTM = 6%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 7%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €48.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。

β = 1.8r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 4 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €40 000M = €1 500n = 4r = 10%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €3 500, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 000, €6 500, €8 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 6 000, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 500, 8 000

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 16.18 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.15/365 = 0.000411

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.000411)³⁶⁵ − 1 = 1.162 − 1 = 16.18%

答え

EAR = 16.18%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 42221 €

通常の年金係数

((1 + 0.07)¹¹ − 1)/0.07 = 15.78

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 2 500·15.78·1.07 = €42 221.13

答え

FV = €42 221.13

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 5.439 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €20.00, i = 0.025, N = 4

€20.00·(1 − 0.906)/0.025 + €1 000·0.906 = €75.24 + €905.95 = €981.19

売却価格

C = €20.00, i = 0.015, N = 3

€20.00·(1 − 0.9563)/0.015 + €1 000·0.9563 = €58.24 + €956.32 = €1 014.56

保有期間利回り

HPR = (20 + 1 014.56 − 981.19)/981.19 = 5.439%

答え

HPR = 5.439%

4.債券の価格と利回り

答え: D = 4.786 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 20/1.06 = 18.87, t·PV = 18.87

t = 2: 20/1.124 = 17.80, t·PV = 35.60

t = 3: 20/1.191 = 16.79, t·PV = 50.38

t = 4: 20/1.262 = 15.84, t·PV = 63.37

t = 5: 1020/1.338 = 762.20, t·PV = 3 811.02

デュレーション

P = 831.51

D = 3 979.23/831.51 = 4.786

答え

D = 4.786 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.437 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·11% + 0.2857·7%·(1 − 0.21) = 9.437%

答え

WACC = 9.437%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.266 %

時価

E = 2 000 000·€48.00 = €96 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.8·4.5% = 10.6%

ウェイト

V = €115 200 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·10.6% + 0.1667·3.5%·(1 − 0.258) = 9.266%

答え

WACC = 9.266%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 14119 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.1⁻⁴)/0.1 = 3.17

年換算した購入価格

40 000/3.17 = 12 618.83

EAC

EAC = 12 618.83 + 1 500 = €14 118.83

答え

EAC = €14 118.83

8.NPV と IRR

答え: r* = 8.574 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 500 − 3 500 = 3 000

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

差の IRR

NPV_Δ(8%) = 86.24

NPV_Δ(9%) = −62.81

r* = 8.574%

答え

r* = 8.574%

確認：8.574% では両方の NPV が €448.47 です。

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