投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

8 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0003.6% / 12n = 8

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

28 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3002.4% / 12N = 336

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 3% のときに、残存期間 11 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 4.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 11y₀ = 3%y₁ = 4.5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 6YTM = 5.5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €28.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€18 000, €18 000, €36 000, €19 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 18 000CF₃ = 36 000CF₄ = 19 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €23 000, €30 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 23 000CF₃ = 30 000

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 37504 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·8 = 96

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.333 = €37 504.25

答え

PV = €37 504.25

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 143525 €

月利と積立回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·28 = 336

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.957 − 1)/0.002 = €143 525.40

答え

FV = €143 525.40

自分で払い込んだのは €100 800。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = −8.429 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €40.00, i = 0.03, N = 11

€40.00·(1 − 0.7224)/0.03 + €1 000·0.7224 = €370.10 + €722.42 = €1 092.53

売却価格

C = €40.00, i = 0.045, N = 10

€40.00·(1 − 0.6439)/0.045 + €1 000·0.6439 = €316.51 + €643.93 = €960.44

保有期間利回り

HPR = (40 + 960.44 − 1 092.53)/1 092.53 = −8.429%

答え

HPR = −8.429%

4.債券の価格と利回り

答え: D = 5.223 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 60/1.055 = 56.87, t·PV = 56.87

t = 2: 60/1.113 = 53.91, t·PV = 107.81

t = 3: 60/1.174 = 51.10, t·PV = 153.29

t = 4: 60/1.239 = 48.43, t·PV = 193.73

t = 5: 60/1.307 = 45.91, t·PV = 229.54

t = 6: 1060/1.379 = 768.76, t·PV = 4 612.56

デュレーション

P = 1 024.98

D = 5 353.81/1 024.98 = 5.223

答え

D = 5.223 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 12.31 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·14% + 0.2·7%·(1 − 0.21) = 12.31%

答え

WACC = 12.31%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.358 %

時価

E = 5 000 000·€28.50 = €142 500 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.3·5.5% = 10.15%

ウェイト

V = €183 300 000, E/V = 0.7774, D/V = 0.2226

WACC

WACC = 0.7774·10.15% + 0.2226·3%·(1 − 0.3) = 8.358%

答え

WACC = 8.358%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −357.7 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 18 000/1.08 = 16 666.67

CF₂/(1 + 0.08)² = 18 000/1.166 = 15 432.10

CF₃/(1 + 0.08)³ = 36 000/1.26 = 28 577.96

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 19 000/1.36 = 13 965.57

合計する

NPV = €−357.71

答え

NPV = €−357.71

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 27.49 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 1 680.00

NPV(30%) = −1 581.70

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·1 680.00/(1 680.00 − (−1 581.70)) = 27.58%

正確な値: NPV(27.49%) = 0 → IRR = 27.49%

答え

IRR = 27.49%

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