投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €5 000g = 4%r = 7%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

6 年後に €100 000 が欲しいとします。年 4.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €100 0004.2% / 12N = 72

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 4%n = 6

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €955 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 8.7 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €955y = 4%D = 8.7Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.2 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 7% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.2D/E₁ = 0.5D/E₂ = 0.6T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €500 000 です。1 年目の末に €28 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 3%r = 10%

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €25 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €200 000CF₁ = €25 000g = 3%n = 8r = 10%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 166667 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.07 − 0.04) = 5 000/0.03 = €166 666.67

答え

PV = €166 666.67

2.貨幣の時間価値

答え: A = 1224 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·6 = 72

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.0035/(1.286 − 1) = €1 223.65

答え

A = €1 223.65

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1053 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.02, N = 12

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.7885)/0.02 = €264.38

額面の現在価値

€1 000·0.7885 = €788.49

価格

P = €1 052.88

答え

P = €1 052.88

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: P = 1035 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 8.7/1.04 = 8.365

推定価格変化

%ΔP ≈ −8.365·(−0.01) = 8.365%

P ≈ 955·(1 + 0.08365) = €1 034.89

答え

P = €1 034.89

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.679 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846

WACC

WACC = 0.6154·14% + 0.3846·3.5%·(1 − 0.21) = 9.679%

答え

WACC = 9.679%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 10.84 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.2/(1 + 0.72·0.5) = 0.8824

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.8824·(1 + 0.72·0.6) = 1.264

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.264·7% = 10.84%

答え

r_e = 10.84%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −100000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 28 000/(0.1 − 0.03) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

答え

NPV = −€100 000.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: NPV = −53913 €

成長型年金の現在価値

((1.03)/(1.1))⁸ = 0.591

PV = 25 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.591) = 146 086.57

NPV

NPV = 146 086.57 − 200 000 = −€53 913.43

答え

NPV = −€53 913.43

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

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