1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、四半期複利で €12 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0003.6% / 4n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
13 年間、毎年初めに €3 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。13 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €3 000i = 8%n = 13
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 7%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 5 年後に満期を迎え、€955 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5P = €955
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.5re = 14%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €34.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €19 000, €17 000, €15 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 19 000CF3 = 17 000CF4 = 15 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €7 000, €5 000, €4 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 000CF3 = 4 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 17172 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009
N = m·n = 4·10 = 40
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.009)40 = 12 000·1.431 = €17 172.28
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 69645 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.08)13 − 1)/0.08 = 21.5
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 3 000·21.5·1.08 = €69 644.76
3.債券の価格と利回り
答え: P = 931.3 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.035, N = 8
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.7594)/0.035 = €171.85
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.041 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€955 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(5%) = €956.71, P(6%) = €915.75
YTM = 5.041%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.2 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.258) = 10.2%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.97 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€34.00 = €68 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.5·6% = 11.5%
ウェイト
V = €72 800 000, E/V = 0.9341, D/V = 0.06593
WACC
WACC = 0.9341·11.5% + 0.06593·5%·(1 − 0.3) = 10.97%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −1314 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 11 000/1.15 = 9 565.22
CF2/(1 + 0.15)2 = 19 000/1.322 = 14 366.73
CF3/(1 + 0.15)3 = 17 000/1.521 = 11 177.78
CF4/(1 + 0.15)4 = 15 000/1.749 = 8 576.30
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 33.02 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 391.44
NPV(35%) = −242.34
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·391.44/(391.44 − (−242.34)) = 33.09%
正確な値: NPV(33.02%) = 0 → IRR = 33.02%