1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、月複利で €2 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 0004% / 12n = 9
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 4.8%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。19 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0004.8% / 12N = 300k = 228
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、14 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5.5% から 6.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 14y1 = 5.5%y2 = 6.5%
ΔP = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 13 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）が €1 155 で売られています。発行者は 6 年後に €1 050 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%P = €1 155繰上償還価格 = €1 050繰上償還まで 6 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 6%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €5 000 000re = 13%rd = 6%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €55.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €7 000, €7 500, €5 000, €8 500 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 7 500CF3 = 5 000CF4 = 8 500
DPB = 年
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €10 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €10 000g = 2%n = 8r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2865 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/12 = 0.003333
N = m·n = 12·9 = 108
将来価値
FV = 2 000·(1 + 0.003333)108 = 2 000·1.432 = €2 864.94
2.貨幣の時間価値
答え: B = 53677 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.004, N = 300
A = 150 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−300) = €859.50
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 300 − 228 = 72
B = 859.5·(1 − (1 + 0.004)−72)/0.004 = €53 677.12
3.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −75.74 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €30.00, i = 0.055, N = 14
€30.00·(1 − 0.4726)/0.055 + €1 000·0.4726 = €287.69 + €472.57 = €760.26
新しい利回りでの価格
C = €30.00, i = 0.065, N = 14
€30.00·(1 − 0.4141)/0.065 + €1 000·0.4141 = €270.42 + €414.10 = €684.52
変化
ΔP = 684.52 − 760.26 = −€75.74
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 2.921 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1155 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
数値的に解く
y = 2%: €1 212.44
y = 3%: €1 150.22
YTC = 2.921%
最終利回りは 3.496% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.136 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545
WACC
WACC = 0.5455·13% + 0.4545·6%·(1 − 0.25) = 9.136%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.767 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€55.50 = €55 500 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 0.9·6% = 7.9%
ウェイト
V = €95 500 000, E/V = 0.5812, D/V = 0.4188
WACC
WACC = 0.5812·7.9% + 0.4188·7%·(1 − 0.258) = 6.767%
7.NPV と IRR
答え: DPB = 3.316 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 7 000/1.05 = 6 666.67 → Σ = 6 666.67
年度 2: 7 500/1.103 = 6 802.72 → Σ = 13 469.39
年度 3: 5 000/1.158 = 4 319.19 → Σ = 17 788.58
年度 4: 8 500/1.216 = 6 992.97 → Σ = 24 781.55
最後の年の端数
DPB = 3 + 2 211.42/6 992.97 = 3.316
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.059 年）より長くなります。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −23323 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.1))8 = 0.5466
PV = 10 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.5466) = 56 676.53
NPV
NPV = 56 676.53 − 80 000 = −€23 323.47
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。