投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

10 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €5 0005% / 4n = 10

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€12 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €12 0003.6% / 12N = 48

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €748 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 7P = €748YTM = 9%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 140 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 9P = €1 140

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 0.75 です。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 4%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

D/E = 0.75r_e = 8%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.4 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 5% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1.25T = 25.8%r_f = 1.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 9 年、運転費は毎年 €3 000（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €60 000M = €3 000n = 9r = 5%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €3 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €30 000 で、€7 500, €11 500, €15 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 3 500B: −30 000, 7 500, 11 500, 15 500

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 3042 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·10 = 40

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.644 = €3 042.07

答え

PV = €3 042.07

2.貨幣の時間価値

答え: A = 268.8 €

月利と返済回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·4 = 48

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8661

A = 12 000·0.003/(1 − 0.8661) = €268.81

答え

A = €268.81

3.債券の価格と利回り

答え: c = 3.993 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.09)⁻⁷ = €547.03

クーポン

C = (748 − 547.03)/5.033 = €39.93

クーポン・レート

c = 39.93/1000 = 3.993%

答え

c = 3.993%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.028 %

利回りの方程式

€1 140 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(5%) = €1 142.16, P(6%) = €1 068.02

YTM = 5.028%

答え

YTM = 5.028%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.926 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·8% + 0.4286·4%·(1 − 0.21) = 5.926%

答え

WACC = 5.926%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 11.34 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.4/(1 + 0.742·0.5) = 1.021

新しい D/E でリレバーする

β_L = 1.021·(1 + 0.742·1.25) = 1.968

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.968·5% = 11.34%

答え

r_e = 11.34%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 11441 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.05⁻⁹)/0.05 = 7.108

年換算した購入価格

60 000/7.108 = 8 441.40

EAC

EAC = 8 441.40 + 3 000 = €11 441.40

答え

EAC = €11 441.40

8.NPV と IRR

答え: r* = 4.174 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 7 500 − 11 500 = −4 000

ΔCF₂ = 11 500 − 8 000 = 3 500

ΔCF₃ = 15 500 − 3 500 = 12 000

差の IRR

NPV_Δ(4%) = 57.75

NPV_Δ(5%) = −268.87

r* = 4.174%

答え

r* = 4.174%

確認：4.174% では両方の NPV が €1 506.90 です。

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