1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€5 000 を年 2%、連続複利で投資します。4 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 000r = 2%t = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
5 年後に €75 000 が欲しいとします。年 4.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €75 0004.2% / 12N = 60
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 11
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 8 年後に満期を迎え、€895 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 8P = €895
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 7.89%、税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €4 000 000WACC = 7.89%rd = 5%T = 20%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €30.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 1.5%rm = 7.5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。1 年目の末に €8 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 2% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 2%r = 12%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 500, €8 000, €11 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 8 000CF3 = 11 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 5416 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.02·4 = 0.08
e0.08 = 1.083
将来価値
FV = 5 000·1.083 = €5 416.44
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1126 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·5 = 60
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 75 000·0.0035/(1.233 − 1) = €1 125.52
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1091 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.0175, N = 22
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.6827)/0.0175 = €407.93
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.966 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数値的に解く
P(9%) = €944.65, P(10%) = €893.30
YTM = 9.966%
5.CAPM と WACC
答え: re = 11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC の負債の部分
0.4444·5%·(1 − 0.2) = 1.778%
株主資本コスト
re = (7.89% − 1.778%)/0.5556 = 11%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.76 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€30.50 = €152 500 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 0.9·6% = 6.9%
ウェイト
V = €157 400 000, E/V = 0.9689, D/V = 0.03113
WACC
WACC = 0.9689·6.9% + 0.03113·3%·(1 − 0.2) = 6.76%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −20000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 8 000/(0.12 − 0.02) = 80 000.00
NPV
NPV = 80 000.00 − 100 000 = −€20 000.00
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 20.39 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 127.31
NPV(25%) = −1 392.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·127.31/(127.31 − (−1 392.00)) = 20.42%
正確な値: NPV(20.39%) = 0 → IRR = 20.39%