1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、四半期複利で €2 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 0004.8% / 4n = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €25 0004.2% / 12N = 36
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 5.5%n = 10
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 045 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 5P = €1 045
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €5 000 000re = 10%rd = 3%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €12 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 8 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €938 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €12 000 000re = 10%債券: 8 000 × €938クーポンレート = 5%n = 8T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €5 000, €4 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 5 000CF3 = 4 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €17 500, €35 000, €19 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 17 500CF2 = 35 000CF3 = 19 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2200 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·2 = 8
将来価値
FV = 2 000·(1 + 0.012)8 = 2 000·1.1 = €2 200.26
2.貨幣の時間価値
答え: A = 740.3 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8818
A = 25 000·0.0035/(1 − 0.8818) = €740.33
3.債券の価格と利回り
答え: P = 733.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0275, N = 20
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.5813)/0.0275 = €152.27
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.962 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 045 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(4%) = €1 089.04, P(5%) = €1 043.29
YTM = 4.962%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.962 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846
WACC
WACC = 0.6154·10% + 0.3846·3%·(1 − 0.3) = 6.962%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.865 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
938 = 50·(1 − (1 + y)−8)/y + 1000/(1 + y)8
y = 5.998%
時価
D = 8 000·€938 = €7 504 000
V = €19 504 000, E/V = 0.6153, D/V = 0.3847
WACC
WACC = 0.6153·10% + 0.3847·5.998%·(1 − 0.258) = 7.865%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −3701 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 9 000/1.06 = 8 490.57
CF2/(1 + 0.06)2 = 5 000/1.124 = 4 449.98
CF3/(1 + 0.06)3 = 4 000/1.191 = 3 358.48
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 19.86 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 4 175.23
NPV(20%) = −115.74
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·4 175.23/(4 175.23 − (−115.74)) = 19.87%
正確な値: NPV(19.86%) = 0 → IRR = 19.86%