1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 6%、四半期複利で €12 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0006% / 4n = 3
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0002.4% / 12N = 36
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 8%n = 3
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 7 年後に満期を迎え、€950 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 7P = €950
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €24.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 0.6rf = 1.5%rm = 6%rd = 5%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €20 000, €16 000, €11 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −45 000CF1 = 9 000CF2 = 20 000CF3 = 16 000CF4 = 11 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €19 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €19 000g = 3%n = 8r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 14347 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·3 = 12
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.015)12 = 12 000·1.196 = €14 347.42
2.貨幣の時間価値
答え: A = 576.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.9306
A = 20 000·0.002/(1 − 0.9306) = €576.35
3.債券の価格と利回り
答え: P = 908.3 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.04, N = 6
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.7903)/0.04 = €117.95
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.993 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(8%) = €1 000.00, P(9%) = €949.67
YTM = 8.993%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.979 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·9% + 0.4444·6%·(1 − 0.258) = 6.979%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 4.124 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€24.00 = €96 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 0.6·4.5% = 4.2%
ウェイト
V = €138 000 000, E/V = 0.6957, D/V = 0.3043
WACC
WACC = 0.6957·4.2% + 0.3043·5%·(1 − 0.21) = 4.124%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3437 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 9 000/1.06 = 8 490.57
CF2/(1 + 0.06)2 = 20 000/1.124 = 17 799.93
CF3/(1 + 0.06)3 = 16 000/1.191 = 13 433.91
CF4/(1 + 0.06)4 = 11 000/1.262 = 8 713.03
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −38974 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.03)/(1.1))8 = 0.591
PV = 19 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.591) = 111 025.80
NPV
NPV = 111 025.80 − 150 000 = −€38 974.20
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。