投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €8 000 を 20 年間支払います。利率は年 7% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €8 000i = 7%n = 20

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

24 年間、毎月末に €500 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €5004.2% / 12N = 288

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 2.5%n = 8

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 4 年後に満期を迎え、€915 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 4P = €915

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 1 です。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

D/E = 1r_e = 13%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €49.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 4%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 4%r_m = 9%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€14 000, €8 000, €12 000, €9 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 8 000CF₃ = 12 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

€10 000 の投資が 9 年間、毎年末に €2 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 9

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 84752 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.2584)/0.07 = 10.59

現在価値

PV = 8 000·10.59 = €84 752.11

答え

PV = €84 752.11

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 247900 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·24 = 288

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.735 − 1)/0.0035 = €247 899.60

答え

FV = €247 899.60

自分で払い込んだのは €144 000。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1397 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €40.00, i = 0.0125, N = 16

クーポンの現在価値

€40.00·(1 − 0.8197)/0.0125 = €576.81

額面の現在価値

€1 000·0.8197 = €819.75

価格

P = €1 396.56

答え

P = €1 396.56

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 7.54 %

利回りの方程式

€915 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数値的に解く

P(7%) = €932.26, P(8%) = €900.64

YTM = 7.54%

答え

YTM = 7.54%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.613 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·13% + 0.5·3%·(1 − 0.258) = 7.613%

答え

WACC = 7.613%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.81 %

時価

E = 2 000 000·€49.00 = €98 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 1.5·5% = 11.5%

ウェイト

V = €108 000 000, E/V = 0.9074, D/V = 0.09259

WACC

WACC = 0.9074·11.5% + 0.09259·5%·(1 − 0.2) = 10.81%

答え

WACC = 10.81%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 3139 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 14 000/1.12 = 12 500.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 8 000/1.254 = 6 377.55

CF₃/(1 + 0.12)³ = 12 000/1.405 = 8 541.36

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 9 000/1.574 = 5 719.66

合計する

NPV = €3 138.58

答え

NPV = €3 138.58

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 20.24 %

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 10 000/2 500 = 4

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 20%: 4.031

i = 21%: 3.905

IRR = 20.24%

答え

IRR = 20.24%

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