投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 6%、月複利で €1 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €1 0006% / 12n = 2

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

11 年後に €100 000 が欲しいとします。年 6%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €100 0006% / 12N = 132

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 4%n = 10

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €970 で取引され、最終利回りは 5%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 4.1 年です。利回りが 25 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €970y = 5%D = 4.1Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 8 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 9 年）からなり、1 枚 €1 038 で取引されています。税率は 20% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €15 000 000r_e = 12%債券: 8 000 × €1 038クーポンレート = 4%n = 9T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €26 000, €19 000, €24 000, €17 500, €23 500, €15 000 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 000CF₂ = 19 000CF₃ = 24 000CF₄ = 17 500CF₅ = 23 500CF₆ = 15 000

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €4 000, €2 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €20 000 で、€5 000, €7 500, €10 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −20 000, 5 000, 7 500, 10 500

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 1127 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·2 = 24

将来価値

FV = 1 000·(1 + 0.005)²⁴ = 1 000·1.127 = €1 127.16

答え

FV = €1 127.16

2.貨幣の時間価値

答え: A = 536.7 €

月利と積立回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·11 = 132

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.005/(1.932 − 1) = €536.70

答え

A = €536.70

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1327 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €40.00, i = 0.02, N = 20

クーポンの現在価値

€40.00·(1 − 0.673)/0.02 = €654.06

額面の現在価値

€1 000·0.673 = €672.97

価格

P = €1 327.03

答え

P = €1 327.03

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: P = 960.5 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 4.1/1.05 = 3.905

推定価格変化

%ΔP ≈ −3.905·(0.0025) = −0.9762%

P ≈ 970·(1 − 0.009762) = €960.53

答え

P = €960.53

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 11.75 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·14% + 0.2·3.5%·(1 − 0.21) = 11.75%

答え

WACC = 11.75%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.722 %

負債コスト（YTM）

1038 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 3.5%

時価

D = 8 000·€1 038 = €8 304 000

V = €23 304 000, E/V = 0.6437, D/V = 0.3563

WACC

WACC = 0.6437·12% + 0.3563·3.5%·(1 − 0.2) = 8.722%

答え

WACC = 8.722%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 2.868 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 26 000/1.05 = 24 761.90 → Σ = 24 761.90

年度 2: 19 000/1.103 = 17 233.56 → Σ = 41 995.46

年度 3: 24 000/1.158 = 20 732.10 → Σ = 62 727.57

最後の年の端数

DPB = 2 + 18 004.54/20 732.10 = 2.868

答え

DPB = 2.868 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.625 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: r* = 5.155 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 5 500 = −500

ΔCF₂ = 7 500 − 4 000 = 3 500

ΔCF₃ = 10 500 − 2 000 = 8 500

差の IRR

NPV_Δ(5%) = 41.03

NPV_Δ(6%) = −219.95

r* = 5.155%

答え

r* = 5.155%

確認：5.155% では両方の NPV が €567.88 です。

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