投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €2 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 3.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €2 000g = 1.5%r = 3.5%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€250 000 の住宅ローンを、年 3%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。3 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €250 0003% / 12N = 300k = 36

B = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3.5%n = 9

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €1 095 で取引され、最終利回りは 6%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 9.2 年です。利回りが 25 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €1 095y = 6%D = 9.2Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €6 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 14%、優先株のコストは 6.5%、税引前負債コストは 3% です。税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 6.5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.1 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.5D/E₂ = 0.75T = 25.8%r_f = 3.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €5 000, €7 000, €8 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 5 000CF₃ = 7 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €15 000 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €50 000CF₁ = €15 000g = 2%n = 4r = 8%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 100000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.035 − 0.015) = 2 000/0.02 = €100 000.00

答え

PV = €100 000.00

2.貨幣の時間価値

答え: B = 228913 €

毎月の返済額

i = 0.0025, N = 300

A = 250 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁰⁰) = €1 185.53

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 300 − 36 = 264

B = 1186·(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁶⁴)/0.0025 = €228 912.61

答え

B = €228 912.61

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1038 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €20.00, i = 0.0175, N = 18

クーポンの現在価値

€20.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €306.54

額面の現在価値

€1 000·0.7318 = €731.78

価格

P = €1 038.32

答え

P = €1 038.32

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: P = 1119 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 9.2/1.06 = 8.679

推定価格変化

%ΔP ≈ −8.679·(−0.0025) = 2.17%

P ≈ 1095·(1 + 0.0217) = €1 118.76

答え

P = €1 118.76

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.11 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 6 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.5714, P_s/V = 0.04762, D/V = 0.381

WACC

WACC = 0.5714·14% + 0.04762·6.5% + 0.381·3%·(1 − 0.3) = 9.11%

答え

WACC = 9.11%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 8.495 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.1/(1 + 0.742·0.5) = 0.8023

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.8023·(1 + 0.742·0.75) = 1.249

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.249·4% = 8.495%

答え

r_e = 8.495%

7.NPV と IRR

答え: NPV = 302.6 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 7 000/1.12 = 6 250.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 5 000/1.254 = 3 985.97

CF₃/(1 + 0.12)³ = 7 000/1.405 = 4 982.46

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 8 000/1.574 = 5 084.14

合計する

NPV = €302.58

答え

NPV = €302.58

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

8.NPV と IRR

答え: NPV = 1095 €

成長型年金の現在価値

((1.02)/(1.08))⁴ = 0.7956

PV = 15 000/(0.08 − 0.02)·(1 − 0.7956) = 51 095.01

NPV

NPV = 51 095.01 − 50 000 = €1 095.01

答え

NPV = €1 095.01

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

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