1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、月複利で €12 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0004% / 12n = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 のローンを 20 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €250 0003% / 12N = 240
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 5%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 10 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10P = €905
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 2 の株式の要求収益率は 10.5% です。無リスク金利は 1.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 2re = 10.5%rf = 1.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €18.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 3%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 3%rm = 9%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €80 000M = €5 000n = 10r = 6%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €36 500 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €36 500g = 5%n = 6r = 8%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 12998 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/12 = 0.003333
N = m·n = 12·2 = 24
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.003333)24 = 12 000·1.083 = €12 997.72
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1386 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·20 = 240
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.5492
A = 250 000·0.0025/(1 − 0.5492) = €1 386.49
3.債券の価格と利回り
答え: P = 982.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.025, N = 8
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.8207)/0.025 = €161.33
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.514 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(9%) = €935.82, P(10%) = €877.11
YTM = 9.514%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 6 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (10.5% − 1.5%)/2 = 4.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.354 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€18.50 = €18 500 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
ウェイト
V = €38 100 000, E/V = 0.4856, D/V = 0.5144
WACC
WACC = 0.4856·12% + 0.5144·4%·(1 − 0.258) = 7.354%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 15869 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.06−10)/0.06 = 7.36
EAC
EAC = 10 869.44 + 5 000 = €15 869.44
8.NPV と IRR
答え: NPV = −10793 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.08))6 = 0.8445
PV = 36 500/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.8445) = 189 206.79
NPV
NPV = 189 206.79 − 200 000 = −€10 793.21
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。