1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€5 000 を年 7%、連続複利で投資します。12 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 000r = 7%t = 12
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
16 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2003.6% / 12N = 192
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3%n = 3
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 10 年後に満期を迎え、€935 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10P = €935
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €4 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 10%、優先株のコストは 6%、税引前負債コストは 5% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000Ps = €1 000 000D = €2 000 000re = 10%rp = 6%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €28.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 2%rm = 8%rd = 7%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€36 000, €33 000, €25 000, €17 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −75 000CF1 = 36 000CF2 = 33 000CF3 = 25 000CF4 = 17 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €8 000, €7 500, €11 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 7 500CF3 = 11 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 11582 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.07·12 = 0.84
e0.84 = 2.316
将来価値
FV = 5 000·2.316 = €11 581.83
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 51825 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·16 = 192
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 200·(1.777 − 1)/0.003 = €51 825.02
自分で払い込んだのは €38 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1028 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.015, N = 6
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.9145)/0.015 = €113.94
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.013 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(9%) = €935.82, P(10%) = €877.11
YTM = 9.013%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.643 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 4 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €7 000 000
E/V = 0.5714, Ps/V = 0.1429, D/V = 0.2857
WACC
WACC = 0.5714·10% + 0.1429·6% + 0.2857·5%·(1 − 0.25) = 7.643%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.551 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€28.50 = €28 500 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
ウェイト
V = €38 100 000, E/V = 0.748, D/V = 0.252
WACC
WACC = 0.748·11% + 0.252·7%·(1 − 0.25) = 9.551%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 22788 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 36 000/1.06 = 33 962.26
CF2/(1 + 0.06)2 = 33 000/1.124 = 29 369.88
CF3/(1 + 0.06)3 = 25 000/1.191 = 20 990.48
CF4/(1 + 0.06)4 = 17 000/1.262 = 13 465.59
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 14.6 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 1 735.54
NPV(15%) = −139.72
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·1 735.54/(1 735.54 − (−139.72)) = 14.63%
正確な値: NPV(14.6%) = 0 → IRR = 14.6%