1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €2 000 を 5 年間支払います。利率は年 10% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €2 000i = 10%n = 5
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 4 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0005.4% / 12N = 48
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 9%n = 3
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 055 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €1 055
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €3 000 000re = 11%rd = 4%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €27.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 25% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 2%、市場収益率は 6.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 2%rm = 6.5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€23 000, €16 000, €23 000, €27 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 23 000CF2 = 16 000CF3 = 23 000CF4 = 27 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €16 500, €12 000, €6 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €35 000 で、€9 000, €13 500, €18 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −30 000, 16 500, 12 000, 6 500B: −35 000, 9 000, 13 500, 18 500
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 7582 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.6209)/0.1 = 3.791
現在価値
PV = 2 000·3.791 = €7 581.57
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1712 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 48
A = 15 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−48) = €348.16
利息の総額
I = N·A − P = 48·348.2 − 15 000 = €1 711.87
3.債券の価格と利回り
答え: P = 871.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.045, N = 6
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.7679)/0.045 = €103.16
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.017 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(4%) = €1 055.50, P(5%) = €1 027.23
YTM = 4.017%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.44 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €15 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·11% + 0.2·4%·(1 − 0.2) = 9.44%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.413 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€27.50 = €55 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 0.9·4.5% = 6.05%
ウェイト
V = €93 400 000, E/V = 0.5889, D/V = 0.4111
WACC
WACC = 0.5889·6.05% + 0.4111·6%·(1 − 0.25) = 5.413%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 16636 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 23 000/1.06 = 21 698.11
CF2/(1 + 0.06)2 = 16 000/1.124 = 14 239.94
CF3/(1 + 0.06)3 = 23 000/1.191 = 19 311.24
CF4/(1 + 0.06)4 = 27 000/1.262 = 21 386.53
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: r* = 3.416 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 16 500 = −7 500
ΔCF2 = 13 500 − 12 000 = 1 500
ΔCF3 = 18 500 − 6 500 = 12 000
差の IRR
NPVΔ(3%) = 114.04
NPVΔ(4%) = −156.75
r* = 3.416%
確認：3.416% では両方の NPV が €3 052.26 です。