1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 20%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 20%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €200 0004.2% / 12N = 360
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 2.5%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 4% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%n = 4YTM = 4%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€43.50 で取引されています。株主資本の簿価は €34 800 000 です。1 株あたり €1.30 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €87 000 000、税引前コストは 4.5% です。税率は 20% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 2 000 000P0 = €43.50株主資本の簿価 = €34 800 000D0 = €1.30g = 4%D = €87 000 000rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€5 000, €9 000, €9 000, €6 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000CF4 = 6 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €26 000, €20 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 20 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 21.94 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01667)12 − 1 = 1.219 − 1 = 21.94%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: A = 978 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·30 = 360
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.2843
A = 200 000·0.0035/(1 − 0.2843) = €978.03
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1160 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.0125, N = 18
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.7996)/0.0125 = €360.66
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 3.879 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 20/1.04 = 19.23, t·PV = 19.23
t = 2: 20/1.082 = 18.49, t·PV = 36.98
t = 3: 20/1.125 = 17.78, t·PV = 53.34
t = 4: 1020/1.17 = 871.90, t·PV = 3 487.60
デュレーション
P = 927.40
D = 3 597.15/927.40 = 3.879
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.479 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·8% + 0.4286·6%·(1 − 0.258) = 6.479%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.354 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.3·1.04 = €1.35
re = 1.352/43.5 + 0.04 = 7.108%
時価
E = 2 000 000·€43.50 = €87 000 000
V = €174 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·7.108% + 0.5·4.5%·(1 − 0.2) = 5.354%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 5036 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 5 000/1.06 = 4 716.98
CF2/(1 + 0.06)2 = 9 000/1.124 = 8 009.97
CF3/(1 + 0.06)3 = 9 000/1.191 = 7 556.57
CF4/(1 + 0.06)4 = 6 000/1.262 = 4 752.56
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 10.32 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 165.29
NPV(15%) = −2 268.43
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·165.29/(165.29 − (−2 268.43)) = 10.34%
正確な値: NPV(10.32%) = 0 → IRR = 10.32%