1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€5 000 を年 2%、連続複利で投資します。20 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 000r = 2%t = 20
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
11 年後に €50 000 が欲しいとします。年 4.8%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €50 0004.8% / 12N = 132
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 5.5% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 3%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 4.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 8y0 = 5.5%y1 = 4.5%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 7 年後に満期を迎え、€915 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 7P = €915
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000D = €2 000 000re = 14%rd = 3.5%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 5 000 000 株で、€20.00 で取引されています。株主資本の簿価は €40 000 000 です。1 株あたり €2.30 の配当を支払ったところで、配当は年 5% 成長します。負債の時価は €100 000 000、税引前コストは 6% です。税率は 25.8% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 5 000 000P0 = €20.00株主資本の簿価 = €40 000 000D0 = €2.30g = 5%D = €100 000 000rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。1 年目の末に €22 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €22 000g = 3%r = 12%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €9 500, €6 000, €6 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 6 000CF3 = 6 000
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 7459 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.02·20 = 0.4
e0.4 = 1.492
将来価値
FV = 5 000·1.492 = €7 459.12
2.貨幣の時間価値
答え: A = 288.3 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·11 = 132
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 50 000·0.004/(1.694 − 1) = €288.29
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 11.88 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €30.00, i = 0.055, N = 8
€30.00·(1 − 0.6516)/0.055 + €1 000·0.6516 = €190.04 + €651.60 = €841.64
売却価格
C = €30.00, i = 0.045, N = 7
€30.00·(1 − 0.7348)/0.045 + €1 000·0.7348 = €176.78 + €734.83 = €911.61
保有期間利回り
HPR = (30 + 911.61 − 841.64)/841.64 = 11.88%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.495 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(5%) = €942.14, P(6%) = €888.35
YTM = 5.495%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 12.13 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC
WACC = 0.8333·14% + 0.1667·3.5%·(1 − 0.2) = 12.13%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.76 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.3·1.05 = €2.42
re = 2.415/20 + 0.05 = 17.08%
時価
E = 5 000 000·€20.00 = €100 000 000
V = €200 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·17.08% + 0.5·6%·(1 − 0.258) = 10.76%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 44444 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 22 000/(0.12 − 0.03) = 244 444.44
NPV
NPV = 244 444.44 − 200 000 = €44 444.44
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 4.821 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
9 500·1.062 = 10 674.20
6 000·1.061 = 6 360.00
6 000·1.060 = 6 000.00
TV = 23 034.20
MIRR
MIRR = (23 034.20/20 000)1/3 − 1 = 4.821%