1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €3 000 を 6 年間支払います。利率は年 5% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €3 000i = 5%n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを、年 6%、月複利で 4 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €20 0006% / 12N = 48
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 9%n = 4
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 6YTM = 6%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €5 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 6.5%、税引前負債コストは 6% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000Ps = €500 000D = €2 000 000re = 11%rp = 6.5%rd = 6%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.2 です。負債資本比率を 1.5 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.2D/E1 = 0.2D/E2 = 1.5T = 28%rf = 3.5%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €6 000, €6 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 6 000CF3 = 6 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €15 000 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF1 = €15 000g = 2%n = 6r = 8%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 15227 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.7462)/0.05 = 5.076
現在価値
PV = 3 000·5.076 = €15 227.08
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2546 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.005, N = 48
A = 20 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−48) = €469.70
利息の総額
I = N·A − P = 48·469.7 − 20 000 = €2 545.63
3.債券の価格と利回り
答え: P = 802.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.045, N = 8
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.7032)/0.045 = €98.94
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 5.31 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 50/1.06 = 47.17, t·PV = 47.17
t = 2: 50/1.124 = 44.50, t·PV = 89.00
t = 3: 50/1.191 = 41.98, t·PV = 125.94
t = 4: 50/1.262 = 39.60, t·PV = 158.42
t = 5: 50/1.338 = 37.36, t·PV = 186.81
t = 6: 1050/1.419 = 740.21, t·PV = 4 441.25
デュレーション
P = 950.83
D = 5 048.60/950.83 = 5.31
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.047 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 5 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €7 500 000
E/V = 0.6667, Ps/V = 0.06667, D/V = 0.2667
WACC
WACC = 0.6667·11% + 0.06667·6.5% + 0.2667·6%·(1 − 0.2) = 9.047%
6.CAPM と WACC
答え: re = 16.59 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.2/(1 + 0.72·0.2) = 1.049
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.049·(1 + 0.72·1.5) = 2.182
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 2.182·6% = 16.59%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −1756 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 8 000/1.05 = 7 619.05
CF2/(1 + 0.05)2 = 6 000/1.103 = 5 442.18
CF3/(1 + 0.05)3 = 6 000/1.158 = 5 183.03
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −27418 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.08))6 = 0.7097
PV = 15 000/(0.08 − 0.02)·(1 − 0.7097) = 72 581.66
NPV
NPV = 72 581.66 − 100 000 = −€27 418.34
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。