1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、四半期複利で €2 000 を投資します。7 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 0003% / 4n = 7
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 2.4%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。19 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0002.4% / 12N = 360k = 228
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 9 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3.5% のとき €1 114 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 9P = €1 114YTM = 3.5%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 9P = €1 065
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.25 の株式の要求収益率は 11% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.25re = 11%rf = 3.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 14% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 5 年）からなり、1 枚 €1 043 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €15 000 000re = 14%債券: 5 000 × €1 043クーポンレート = 6%n = 5T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€36 000, €27 000, €36 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −75 000CF1 = 36 000CF2 = 27 000CF3 = 36 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 500, €14 000, €16 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 14 000CF3 = 16 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2465 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·7 = 28
将来価値
FV = 2 000·(1 + 0.0075)28 = 2 000·1.233 = €2 465.42
2.貨幣の時間価値
答え: B = 67798 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.002, N = 360
A = 150 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−360) = €584.91
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 228 = 132
B = 584.9·(1 − (1 + 0.002)−132)/0.002 = €67 798.31
3.債券の価格と利回り
答え: c = 4.998 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.035)−9 = €733.73
クーポン
C = (1114 − 733.73)/7.608 = €49.98
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.002 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(7%) = €1 065.15, P(8%) = €1 000.00
YTM = 7.002%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 9.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (11% − 3.5%)/1.25 = 6%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.35 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1043 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1000/(1 + y)5
y = 5.007%
時価
D = 5 000·€1 043 = €5 215 000
V = €20 215 000, E/V = 0.742, D/V = 0.258
WACC
WACC = 0.742·14% + 0.258·5.007%·(1 − 0.258) = 11.35%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 13218 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 36 000/1.06 = 33 962.26
CF2/(1 + 0.06)2 = 27 000/1.124 = 24 029.90
CF3/(1 + 0.06)3 = 36 000/1.191 = 30 226.29
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 33.22 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 1 178.88
NPV(35%) = −611.95
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·1 178.88/(1 178.88 − (−611.95)) = 33.29%
正確な値: NPV(33.22%) = 0 → IRR = 33.22%