投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

5 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 3%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €40 0003% / 12n = 5

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0004.2% / 12N = 300

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、13 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5% から 7% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 13y₁ = 5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €849 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5% (2×)n = 8P = €849

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.8 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 20%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 6% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.8D/E = 0.4T = 20%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 8 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €80 000M = €1 000n = 8r = 10%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €7 500, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 6 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 34435 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·5 = 60

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.162 = €34 434.76

答え

PV = €34 434.76

2.貨幣の時間価値

答え: A = 1078 €

月利と返済回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.3506

A = 200 000·0.0035/(1 − 0.3506) = €1 077.88

答え

A = €1 077.88

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −177.5 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €60.00, i = 0.05, N = 13

€60.00·(1 − 0.5303)/0.05 + €1 000·0.5303 = €563.61 + €530.32 = €1 093.94

新しい利回りでの価格

C = €60.00, i = 0.07, N = 13

€60.00·(1 − 0.415)/0.07 + €1 000·0.415 = €501.46 + €414.96 = €916.42

変化

ΔP = 916.42 − 1 093.94 = −€177.51

答え

ΔP = −€177.51

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.997 %

1 期あたり

C = €22.50, N = 16

数値的に解く

i = 3.498% 半年あたり

YTM

YTM = 2·3.498% = 6.997%

答え

YTM = 6.997%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.782 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·8% + 0.625·6%·(1 − 0.258) = 5.782%

答え

WACC = 5.782%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 7.336 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.8·(1 + 0.8·0.4) = 1.056

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 1.056·6% = 7.336%

答え

r_e = 7.336%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 15996 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.1⁻⁸)/0.1 = 5.335

年換算した購入価格

80 000/5.335 = 14 995.52

EAC

EAC = 14 995.52 + 1 000 = €15 995.52

答え

EAC = €15 995.52

8.NPV と IRR

答え: IRR = 26.42 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 160.00

NPV(30%) = −384.62

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·160.00/(160.00 − (−384.62)) = 26.47%

正確な値: NPV(26.42%) = 0 → IRR = 26.42%

答え

IRR = 26.42%

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