投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €3 000 を 14 年間支払います。利率は年 6% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €3 000i = 6%n = 14

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0003.6% / 12N = 36

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 5% のときに、残存期間 5 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 3%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 4.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 5y₀ = 5%y₁ = 4.5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 2.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 4YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €56.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 4%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。

β = 1.2r_f = 4%r_m = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €4 000, €9 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 4 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €9 000, €9 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 9 000CF₃ = 9 500

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 27885 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4423)/0.06 = 9.295

現在価値

PV = 3 000·9.295 = €27 884.95

答え

PV = €27 884.95

2.貨幣の時間価値

答え: A = 440.2 €

月利と返済回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·3 = 36

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8978

A = 15 000·0.003/(1 − 0.8978) = €440.20

答え

A = €440.20

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 6.873 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €30.00, i = 0.05, N = 5

€30.00·(1 − 0.7835)/0.05 + €1 000·0.7835 = €129.88 + €783.53 = €913.41

売却価格

C = €30.00, i = 0.045, N = 4

€30.00·(1 − 0.8386)/0.045 + €1 000·0.8386 = €107.63 + €838.56 = €946.19

保有期間利回り

HPR = (30 + 946.19 − 913.41)/913.41 = 6.873%

答え

HPR = 6.873%

4.債券の価格と利回り

答え: D = 3.737 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 50/1.025 = 48.78, t·PV = 48.78

t = 2: 50/1.051 = 47.59, t·PV = 95.18

t = 3: 50/1.077 = 46.43, t·PV = 139.29

t = 4: 1050/1.104 = 951.25, t·PV = 3 804.99

デュレーション

P = 1 094.05

D = 4 088.24/1 094.05 = 3.737

答え

D = 3.737 年

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.25 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €4 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.5·6%·(1 − 0.25) = 8.25%

答え

WACC = 8.25%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.599 %

時価

E = 4 000 000·€56.00 = €224 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 1.2·4% = 8.8%

ウェイト

V = €233 800 000, E/V = 0.9581, D/V = 0.04192

WACC

WACC = 0.9581·8.8% + 0.04192·5%·(1 − 0.2) = 8.599%

答え

WACC = 8.599%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −3262 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 8 000/1.12 = 7 142.86

CF₂/(1 + 0.12)² = 4 000/1.254 = 3 188.78

CF₃/(1 + 0.12)³ = 9 000/1.405 = 6 406.02

合計する

NPV = €−3 262.35

答え

NPV = €−3 262.35

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 33.11 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(30%) = 803.37

NPV(35%) = −459.79

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 30 + 5·803.37/(803.37 − (−459.79)) = 33.18%

正確な値: NPV(33.11%) = 0 → IRR = 33.11%

答え

IRR = 33.11%

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