1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 17.5%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 17.5%m = 2
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 3%、月複利で €8 000 を借り、毎月末に €125 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €8 000A = €1253% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 2.5%n = 6
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 8 年後に満期を迎え、€940 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8P = €940
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €2 000 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 10%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 5% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000Ps = €2 000 000D = €5 000 000re = 10%rp = 7%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €33.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 10% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 3.5%rm = 10%rd = 4%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €9 000, €6 000, €13 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 9 000CF3 = 6 000CF4 = 13 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €28 000, €20 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 20 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 18.27 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0875)2 − 1 = 1.183 − 1 = 18.27%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: N = 70 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.0025
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0.0025/125 = 0.84
対数を使って解く
N = −ln(0.84)/ln(1.002) = 69.83
返済回数を整数に切り上げる
69 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 972.3 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0125, N = 12
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.8615)/0.0125 = €110.79
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.965 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数値的に解く
P(5%) = €1 000.00, P(6%) = €937.90
YTM = 5.965%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.809 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 10 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €17 000 000
E/V = 0.5882, Ps/V = 0.1176, D/V = 0.2941
WACC
WACC = 0.5882·10% + 0.1176·7% + 0.2941·5%·(1 − 0.25) = 7.809%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.868 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€33.50 = €33 500 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 0.9·6.5% = 9.35%
ウェイト
V = €43 700 000, E/V = 0.7666, D/V = 0.2334
WACC
WACC = 0.7666·9.35% + 0.2334·4%·(1 − 0.25) = 7.868%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3722 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 11 000/1.06 = 10 377.36
CF2/(1 + 0.06)2 = 9 000/1.124 = 8 009.97
CF3/(1 + 0.06)3 = 6 000/1.191 = 5 037.72
CF4/(1 + 0.06)4 = 13 000/1.262 = 10 297.22
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 13.9 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 1 983.47
NPV(15%) = −529.30
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·1 983.47/(1 983.47 − (−529.30)) = 13.95%
正確な値: NPV(13.9%) = 0 → IRR = 13.9%