投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 19.5%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 19.5%m = 4

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

8 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3003% / 12N = 96

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 7

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 3YTM = 5%

D = 年

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.2 の株式の要求収益率は 10.7% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.2r_e = 10.7%r_f = 3.5%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 1D/E = 1.5T = 25.8%r_f = 3%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、5 年間、毎年末に €8 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 8 000CF₅ = 8 000

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €4 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €25 000 で、€6 500, €10 000, €13 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 000B: −25 000, 6 500, 10 000, 13 000

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 20.97 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.195/4 = 0.04875

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.04875)⁴ − 1 = 1.21 − 1 = 20.97%

答え

EAR = 20.97%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 32504 €

月利と積立回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·8 = 96

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.271 − 1)/0.0025 = €32 504.22

答え

FV = €32 504.22

自分で払い込んだのは €28 800。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1062 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €22.50, i = 0.0175, N = 14

クーポンの現在価値

€22.50·(1 − 0.7844)/0.0175 = €277.25

額面の現在価値

€1 000·0.7844 = €784.36

価格

P = €1 061.61

答え

P = €1 061.61

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: D = 2.872 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 45/1.05 = 42.86, t·PV = 42.86

t = 2: 45/1.103 = 40.82, t·PV = 81.63

t = 3: 1045/1.158 = 902.71, t·PV = 2 708.13

デュレーション

P = 986.38

D = 2 832.62/986.38 = 2.872

答え

D = 2.872 年

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 9.5 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (10.7% − 3.5%)/1.2 = 6%

市場収益率

r_m = 3.5% + 6% = 9.5%

答え

r_m = 9.5%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 13.56 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 1·(1 + 0.742·1.5) = 2.113

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 2.113·5% = 13.56%

答え

r_e = 13.56%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 4.934 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 8 000/1.1 = 7 272.73 → Σ = 7 272.73

年度 2: 8 000/1.21 = 6 611.57 → Σ = 13 884.30

年度 3: 8 000/1.331 = 6 010.52 → Σ = 19 894.82

年度 4: 8 000/1.464 = 5 464.11 → Σ = 25 358.92

年度 5: 8 000/1.611 = 4 967.37 → Σ = 30 326.29

最後の年の端数

DPB = 4 + 4 641.08/4 967.37 = 4.934

答え

DPB = 4.934 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.75 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: r* = 4.193 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 10 000 − 8 000 = 2 000

ΔCF₃ = 13 000 − 4 000 = 9 000

差の IRR

NPV_Δ(4%) = 42.39

NPV_Δ(5%) = −173.31

r* = 4.193%

答え

r* = 4.193%

確認：4.193% では両方の NPV が €1 942.43 です。

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