1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、月複利で €8 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €8 0003.6% / 12n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0003.6% / 12N = 72
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3.5%n = 5
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 080 で取引され、最終利回りは 5%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 6.9 年です。利回りが 75 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 080y = 5%D = 6.9Δy = +75 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 6.74%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 6.74%rd = 4.5%T = 25%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €10 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 9 年）からなり、1 枚 €1 036 で取引されています。税率は 21% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €10 000 000re = 12%債券: 5 000 × €1 036クーポンレート = 5%n = 9T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€25 000, €19 000, €25 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 25 000CF2 = 19 000CF3 = 25 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €14 000, €12 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 12 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 10665 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·8 = 96
将来価値
FV = 8 000·(1 + 0.003)96 = 8 000·1.333 = €10 665.46
2.貨幣の時間価値
答え: A = 185.6 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·6 = 72
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.806
A = 12 000·0.003/(1 − 0.806) = €185.56
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1023 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0175, N = 10
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €182.02
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1027 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −6.571·(0.0075) = −4.929%
P ≈ 1080·(1 − 0.04929) = €1 026.77
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: re = 8.002 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC の負債の部分
0.2727·4.5%·(1 − 0.25) = 0.9205%
株主資本コスト
re = (6.74% − 0.9205%)/0.7273 = 8.002%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.119 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1036 = 50·(1 − (1 + y)−9)/y + 1000/(1 + y)9
y = 4.505%
時価
D = 5 000·€1 036 = €5 180 000
V = €15 180 000, E/V = 0.6588, D/V = 0.3412
WACC
WACC = 0.6588·12% + 0.3412·4.505%·(1 − 0.21) = 9.119%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −2787 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 25 000/1.1 = 22 727.27
CF2/(1 + 0.1)2 = 19 000/1.21 = 15 702.48
CF3/(1 + 0.1)3 = 25 000/1.331 = 18 782.87
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 20 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 0.00
NPV(25%) = −1 120.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·0.00/(0.00 − (−1 120.00)) = 20%
正確な値: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%