投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€1 000 を年 3%、連続複利で投資します。16 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €1 000r = 3%t = 16

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€8 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €8 0002.4% / 12N = 36

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 8% のときに、残存期間 6 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 8.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 6y₀ = 8%y₁ = 8.5%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 5 年後に満期を迎え、€895 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5P = €895

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €29.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 21% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 1.5%r_m = 7.5%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €30 000、耐用年数は 6 年、運転費は毎年 €2 000（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €30 000M = €2 000n = 6r = 5%

EAC = €

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €30 000 で、5 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €150 000CF₁ = €30 000g = 5%n = 5r = 8%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 1616 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.03·16 = 0.48

e^0.48 = 1.616

将来価値

FV = 1 000·1.616 = €1 616.07

答え

FV = €1 616.07

2.貨幣の時間価値

答え: A = 230.5 €

月利と返済回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·3 = 36

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.9306

A = 8 000·0.002/(1 − 0.9306) = €230.54

答え

A = €230.54

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 5.944 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €60.00, i = 0.08, N = 6

€60.00·(1 − 0.6302)/0.08 + €1 000·0.6302 = €277.37 + €630.17 = €907.54

売却価格

C = €60.00, i = 0.085, N = 5

€60.00·(1 − 0.665)/0.085 + €1 000·0.665 = €236.44 + €665.05 = €901.48

保有期間利回り

HPR = (60 + 901.48 − 907.54)/907.54 = 5.944%

答え

HPR = 5.944%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.529 %

利回りの方程式

€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(6%) = €915.75, P(7%) = €876.99

YTM = 6.529%

答え

YTM = 6.529%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.025 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·8% + 0.625·4.5%·(1 − 0.28) = 5.025%

答え

WACC = 5.025%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.337 %

時価

E = 2 500 000·€29.00 = €72 500 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.8·6% = 6.3%

ウェイト

V = €111 700 000, E/V = 0.6491, D/V = 0.3509

WACC

WACC = 0.6491·6.3% + 0.3509·4.5%·(1 − 0.21) = 5.337%

答え

WACC = 5.337%

7.NPV と IRR

答え: EAC = 7911 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.05⁻⁶)/0.05 = 5.076

年換算した購入価格

30 000/5.076 = 5 910.52

EAC

EAC = 5 910.52 + 2 000 = €7 910.52

答え

EAC = €7 910.52

8.NPV と IRR

答え: NPV = −18616 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

成長型年金の現在価値

((1.05)/(1.08))⁵ = 0.8686

PV = 30 000/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.8686) = 131 384.21

NPV

NPV = 131 384.21 − 150 000 = −€18 615.79

答え

NPV = −€18 615.79

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

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