1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€5 000 を年 2%、連続複利で投資します。11 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €5 000r = 2%t = 11
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
19 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 7.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3007.2% / 12N = 228
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 8%n = 8
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、5 年後に満期を迎えます。価格は €1 065 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7% (2×)n = 5P = €1 065
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 6%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €5 000 000re = 11%rd = 6%T = 28%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €8.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 4%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 4%rm = 8.5%rd = 5%T = 25.8%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 9 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €5 000n = 9r = 5%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 000, €8 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €25 000 で、€6 500, €9 500, €13 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −20 000, 11 000, 8 000, 4 500B: −25 000, 6 500, 9 500, 13 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 6230 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.02·11 = 0.22
e0.22 = 1.246
将来価値
FV = 5 000·1.246 = €6 230.38
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 145573 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·19 = 228
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(3.911 − 1)/0.006 = €145 573.32
自分で払い込んだのは €68 400。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 883.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.04, N = 16
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.5339)/0.04 = €349.57
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.496 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.431 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846
WACC
WACC = 0.6154·11% + 0.3846·6%·(1 − 0.28) = 8.431%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.024 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€8.00 = €20 000 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 0.8·4.5% = 7.6%
ウェイト
V = €59 200 000, E/V = 0.3378, D/V = 0.6622
WACC
WACC = 0.3378·7.6% + 0.6622·5%·(1 − 0.258) = 5.024%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 10628 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.05−9)/0.05 = 7.108
EAC
EAC = 5 627.60 + 5 000 = €10 627.60
8.NPV と IRR
答え: r* = 2.181 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −25 000 − (−20 000) = −5 000
ΔCF1 = 6 500 − 11 000 = −4 500
ΔCF2 = 9 500 − 8 000 = 1 500
ΔCF3 = 13 000 − 4 500 = 8 500
差の IRR
NPVΔ(2%) = 39.73
NPVΔ(3%) = −176.33
r* = 2.181%
確認：2.181% では両方の NPV が €2 645.39 です。