1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €8 000 を 4 年間支払います。利率は年 10% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €8 000i = 10%n = 4
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 4.2%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。17 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0004.2% / 12N = 300k = 204
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €899 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €899YTM = 9%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、3 年後に満期を迎えます。価格は €948 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6% (2×)n = 3P = €948
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €10 000 000、負債の価値は €5 000 000 です。WACC は 8.93%、税引前負債コストは 4%、税率は 30% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €10 000 000D = €5 000 000WACC = 8.93%rd = 4%T = 30%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €29.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 1.5%rm = 7%rd = 7%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。6 年間、毎年末に €9 500 を生み、その後 €12 500 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €9 500S = €12 500n = 6r = 6%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
€80 000 の投資が 3 年間、毎年末に €34 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €80 000CF = €34 500n = 3
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 25359 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.683)/0.1 = 3.17
現在価値
PV = 8 000·3.17 = €25 358.92
2.貨幣の時間価値
答え: B = 109697 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0035, N = 300
A = 250 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−300) = €1 347.36
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 300 − 204 = 96
B = 1347·(1 − (1 + 0.0035)−96)/0.0035 = €109 696.92
3.債券の価格と利回り
答え: c = 6.993 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.09)−7 = €547.03
クーポン
C = (899 − 547.03)/5.033 = €69.93
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.983 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: re = 11.99 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC の負債の部分
0.3333·4%·(1 − 0.3) = 0.9333%
株主資本コスト
re = (8.93% − 0.9333%)/0.6667 = 11.99%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.098 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€29.50 = €73 750 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.2·5.5% = 8.1%
ウェイト
V = €113 750 000, E/V = 0.6484, D/V = 0.3516
WACC
WACC = 0.6484·8.1% + 0.3516·7%·(1 − 0.25) = 7.098%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 5527 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 46 714.58 + 8 812.01 = €5 526.59
8.NPV と IRR
答え: IRR = 14.07 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−3)/i = 80 000/34 500 = 2.319
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 14%: 2.322
i = 15%: 2.283
IRR = 14.07%